Utilizando integral dupla, calcule a área da região delimitada pelas curvas x^2 + 2y = 16 e x + 2y = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a área da região delimitada pelas curvas e usando integral dupla. Isso envolve entender de geometria analítica e cálculo integral. Precisamos identificar onde essas curvas se encontram e configurar a integral dupla corretamente para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, resolvemos o sistema de equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos expressar em função de para ambas as curvas:
  1. Da equação :
  1. Da equação :
Aqui, é uma reta e é uma parábola voltada para baixo.

Passo 4

Para configurar a integral dupla, vamos notar que a área entre as curvas pode ser calculada integrando a diferença das funções de cima e de baixo em relação a no intervalo de a .
Então, a área é dada por:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos agora calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites de integração:
Para :
Para :
Subtraindo:
Multiplicando pela :

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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