Resolver

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais $ X’ = X' = 1 & 2 -12 & 1 X X $. Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores próprios (ou autovalores) e os vetores próprios (ou autovetores) da matriz que está no sistema. Isso vai nos ajudar a construir a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz $ A = A = 1 & 2 -12 & 1 $. Os valores próprios são os valores de $ \lambda $ que satisfazem a equação característica $ \det(A - \lambda I) = 0 $, onde $ I $ é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando a equação característica:
det( 1 & 2 -12 & 1 - lambda 1 & 0 0 & 1 ) = det 1 - lambda & 2 -12 & 1 - lambda
O determinante dessa matriz é:
(1 - lambda)(1 - lambda) - (2)(-12) = (1 - lambda)^2 + 1 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação $ (1 - \lambda)^2 + 1 = 0 $:
(1 - lambda)^2 + 1 = 0
Então, os valores próprios são $ \lambda_1 = 1 + i $ e $ \lambda_2 = 1 - i $.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Vamos começar com $ \lambda = 1 + i $.
Resolvendo $ (A - \lambda I)v = 0 $:
lambda = 1 + i
Vamos simplificar a primeira equação:
(A - lambda I)v = 0
Podemos escolher $ v_2 = 1 $, então $ v_1 = -2i $. Assim, um vetor próprio correspondente a $ \lambda_1 $ é $ v = 1 - (1 + i) & 2 -12 & 1 - (1 + i) v1 v2 = -i & 2 -12 & -i v1 v2 = 0 0 $.

Passo 6

Como os valores próprios são complexos, a solução geral do sistema será da forma:
X(t) = e^alpha t ( C1 ( cos(beta t) Re(v) - sin(beta t) Im(v) ) + C2 ( sin(beta t) Re(v) + cos(beta t) Im(v) ) )
Onde $ \alpha $ é a parte real de $ \lambda $ e $ \beta $ é a parte imaginária. No nosso caso, $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 1 $.

Passo 7

Primeiro, vamos separar o vetor próprio $ v = v = -2i 1 $ nas suas partes real e imaginária:
Re(v) = 0 1 , Im(v) = -2 0
Agora, substituindo na fórmula da solução geral:
X(t) = e^t ( C1 ( cos(t) 0 1 - sin(t) -2 0 ) + C2 ( sin(t) 0 1 + cos(t) -2 0 ) )

Passo 8

Simplificando as combinações:
X(t) = e^t ( C1 2sin(t) cos(t) + C2 -2cos(t) sin(t) )
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem.

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = e^t ( C1 2sin(t) cos(t) + C2 -2cos(t) sin(t) )
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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