Resolver
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais $ X’ =
X $. Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores próprios (ou autovalores) e os vetores próprios (ou autovetores) da matriz que está no sistema. Isso vai nos ajudar a construir a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz $ A =
$. Os valores próprios são os valores de $ \lambda $ que satisfazem a equação característica $ \det(A - \lambda I) = 0 $, onde $ I $ é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando a equação característica:
O determinante dessa matriz é:
Passo 4
Resolvendo a equação $ (1 - \lambda)^2 + 1 = 0 $:
Então, os valores próprios são $ \lambda_1 = 1 + i $ e $ \lambda_2 = 1 - i $.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Vamos começar com $ \lambda = 1 + i $.
Resolvendo $ (A - \lambda I)v = 0 $:
Vamos simplificar a primeira equação:
Podemos escolher $ v_2 = 1 $, então $ v_1 = -2i $. Assim, um vetor próprio correspondente a $ \lambda_1 $ é $ v =
$.
Passo 6
Como os valores próprios são complexos, a solução geral do sistema será da forma:
Onde $ \alpha $ é a parte real de $ \lambda $ e $ \beta $ é a parte imaginária. No nosso caso, $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 1 $.
Passo 7
Primeiro, vamos separar o vetor próprio $ v =
$ nas suas partes real e imaginária:
Agora, substituindo na fórmula da solução geral:
Passo 8
Simplificando as combinações:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.