Resolver
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ X’ =
X $. Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diferenciais e Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz dada. Esses conceitos nos ajudam a construir a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz $ A =
$. Os autovalores $ \lambda $ são encontrados resolvendo o determinante $ \det(A - \lambda I) = 0 $, onde $ I $ é a matriz identidade.
Calcular o determinante:
Simplificando:
Então, temos:
Passo 3
Agora que encontramos os autovalores $ \lambda = 2i $ e $ \lambda = -2i $, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Vamos usar um dos autovalores, por exemplo, $ \lambda = 2i $.
Montamos a matriz $ A - \lambda I $:
Resolvendo $ (A - 2i I) X = 0 $, temos:
Multiplicando numerador e denominador por $ -2 -2i $ para racionalizar:
Então, um autovetor correspondente é $ v =
$.
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos construir a solução geral da equação diferencial. Como os autovalores são complexos, a solução terá termos trigonométricos.
A solução geral é:
Onde $ \lambda = \alpha \pm i\beta $. No nosso caso, $ \alpha = 0 $ e $ \beta = 2 $.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.