Resolver

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ X’ = X' = 2 & 8 -1 & -2 X X $. Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diferenciais e Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz dada. Esses conceitos nos ajudam a construir a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz $ A = A = 2 & 8 -1 & -2 $. Os autovalores $ \lambda $ são encontrados resolvendo o determinante $ \det(A - \lambda I) = 0 $, onde $ I $ é a matriz identidade.
Calcular o determinante:
lambda
Simplificando:
det(A - lambda I) = 0
Então, temos:
I

Passo 3

Agora que encontramos os autovalores $ \lambda = 2i $ e $ \lambda = -2i $, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Vamos usar um dos autovalores, por exemplo, $ \lambda = 2i $.
Montamos a matriz $ A - \lambda I $:
lambda = 2i
Resolvendo $ (A - 2i I) X = 0 $, temos:
lambda = -2i
Multiplicando numerador e denominador por $ -2 -2i $ para racionalizar:
lambda = 2i
Então, um autovetor correspondente é $ v = A - lambda I $.

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos construir a solução geral da equação diferencial. Como os autovalores são complexos, a solução terá termos trigonométricos.
A solução geral é:
X(t) = e^alpha t ( C1 a b cos(beta t) + C2 -b a sin(beta t) )
Onde $ \lambda = \alpha \pm i\beta $. No nosso caso, $ \alpha = 0 $ e $ \beta = 2 $.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
X(t) = C1 1 -2 cos(2t) + C2 1 -2 sin(2t)
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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