Resolver a equação \mathrm{f}(\mathrm{x})=0 para cada um dos casos.
f(x)=(x-2)(x+3)(x-5)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação \mathrm{f}(\mathrm{x})=0, onde está dado
\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}+3)(\mathrm{x}-5).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função \mathrm{f} já está fatorada como produto de três fatores lineares: (\mathrm{x}-2), (\mathrm{x}+3) e (\mathrm{x}-5).
  • Queremos encontrar todos os valores de \mathrm{x} que tornam \mathrm{f}(\mathrm{x}) igual a zero (ou seja, as raízes da equação).
  • Não há figura ou tabela; toda informação necessária está explícita na expressão fatorada acima.

Passo 2

Conceito-chave (aqui eu te explico como pensar na prova): a propriedade do produto nulo.
Essa propriedade diz que, para números reais, se um produto de fatores é zero então pelo menos um dos fatores é zero. Em forma matemática:
ab=0 \iff a=0 \quad\text{ou}\quad b=0.
Extendendo para três fatores:
a b c = 0 \iff a=0 \quad\text{ou}\quad b=0 \quad\text{ou}\quad c=0.
Aplicando isso ao nosso produto fatorado, temos que
(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}+3)(\mathrm{x}-5)=0
é equivalente a resolver as três equações lineares
\mathrm{x}-2=0,\qquad \mathrm{x}+3=0,\qquad \mathrm{x}-5=0.

Passo 3

Resolver a primeira equação linear \mathrm{x}-2=0.
  • Para isolar \mathrm{x}, somamos 2 em ambos os lados:
\mathrm{x}-2+2=0+2.
  • Isso dá
\mathrm{x}=2.
Explicação didática: uma equação da forma \mathrm{x}-a=0 sempre tem solução \mathrm{x}=a. Aqui a=2.

Passo 4

Resolver a segunda equação linear \mathrm{x}+3=0.
  • Para isolar \mathrm{x}, subtraímos 3 em ambos os lados:
\mathrm{x}+3-3=0-3.
  • Isso dá
\mathrm{x}=-3.
Explicação didática: uma equação da forma \mathrm{x}+b=0 tem solução \mathrm{x}=-b. Aqui b=3.

Passo 5

Resolver a terceira equação linear \mathrm{x}-5=0.
  • Somando 5 em ambos os lados:
\mathrm{x}-5+5=0+5,
obtemos
\mathrm{x}=5.
Mesma ideia do passo anterior: isolar \mathrm{x}.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom fazer na prova se der tempo): substituir cada solução em \mathrm{f}(\mathrm{x}).
  • Para \mathrm{x}=2: (2-2)(2+3)(2-5)=0\cdot 5\cdot(-3)=0.
  • Para \mathrm{x}=-3: (-3-2)(-3+3)(-3-5)=(-5)\cdot 0\cdot(-8)=0.
  • Para \mathrm{x}=5: (5-2)(5+3)(5-5)=3\cdot 8\cdot 0=0.
    Todas dão zero, então as soluções estão corretas.

Passo 7

Observação sobre multiplicidade (útil na prova): cada fator aparece uma vez (são fatores distintos), então cada raiz tem multiplicidade 1 — são raízes simples. Isso significa que o sinal de \mathrm{f}(\mathrm{x}) muda ao atravessar cada uma dessas raízes na reta real.

Resposta

\mathrm{x}=-3
\mathrm{x}=2
\mathrm{x}=5

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