Para cada um dos itens a seguir, faça o que se pede.
Passo 1
O enunciado fornece a função e os dados abaixo e pede que você calcule o que segue (listei as perguntas de forma explícita):
Perguntas (o que precisamos obter):
- as derivadas parciais
e (já são dadas no enunciado, mas vamos reproduzi‑las com explicação); - o gradiente
; - o vetor unitário
; - a derivada direcional de
em na direção de , ou seja .
Passo 2
Vamos obter as derivadas parciais explicando a regra usada (cadeia): escrevemos
com
. A derivada de
em relação a
é
. Pela regra da cadeia:
Como
, obtemos
Analogamente, para
:
Comentário didático: cada variável é tratada como independente; ao derivar em
mantemos
como constante, por isso
.
Passo 3
Agora calculamos o gradiente no ponto
. O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Substituindo
e
:
Portanto
Didática rápida: o gradiente aponta na direção de maior crescimento de
, e seu módulo dá a taxa de crescimento máximo.
Passo 4
Precisamos do vetor unitário na direção de
. A normalização é feita dividindo pelo comprimento:
Logo o vetor unitário é
Comentário: usamos vetor unitário porque a derivada direcional padrão é definida para direções de comprimento 1; isso remove escala da velocidade.
Passo 5
Fórmula da derivada direcional (explicada): a derivada direcional de
em
na direção do vetor unitário
é o produto escalar entre o gradiente e
:
Explicação do produto escalar: para vetores
e
, o produto escalar é
e representa a projeção (taxa de variação) do primeiro na direção do segundo.
Passo 6
Aplicando a fórmula com
e
:
Calculando componente a componente:
Observação: embora cada parcela não seja zero, elas se cancelam exatamente, resultando em derivada direcional nula.
Passo 7
Interpretação geométrica e incentivo: o resultado zero significa que, ao nos deslocarmos a partir do ponto
na direção de
, o valor de
não varia (a primeira ordem). Em termos geométricos, isso indica que
é tangente à curva de nível de
que passa por
. Você conseguiu! Mesmo com cara de conta longa, a ideia é sempre: achar gradiente, normalizar direção, fazer produto escalar — e pronto.