Para cada um dos itens a seguir, faça o que se pede.
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right), \quad x_{0}=2, y_{0}=1
\vec{v}=(-1,2), \quad|\vec{v}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}
\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=\frac{2 x}{x^{2}+y^{2}} \quad, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2 y}{x^{2}+y^{2}}
\nabla f(2,1)=\left(\frac{2 \cdot 2}{2^{2}+1^{2}}, \frac{2 \cdot 1}{2^{2}+1^{2}}\right)=
=\left(\frac{4}{5}, \frac{2}{5}\right)
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}\right)
\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(2,1)=\nabla f(2,1) \cdot \vec{u}=
=\left(\frac{4}{5}, \frac{2}{5}\right) \cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\right)=
=-\frac{4}{\sqrt{5}}+\frac{4}{\sqrt{5}}=(0)

Passo 1

O enunciado fornece a função e os dados abaixo e pede que você calcule o que segue (listei as perguntas de forma explícita):
f(x,y)=\ln\big(x^{2}+y^{2}\big),\qquad (x_{0},y_{0})=(2,1)
\vec{v}=(-1,2),\qquad |\vec{v}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}
Perguntas (o que precisamos obter):
  1. as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} (já são dadas no enunciado, mas vamos reproduzi‑las com explicação);
  2. o gradiente \nabla f(2,1);
  3. o vetor unitário \vec{u}=\dfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|};
  4. a derivada direcional de f em (2,1) na direção de \vec{v}, ou seja \dfrac{\partial f}{\partial \vec{u}}(2,1).

Passo 2

Vamos obter as derivadas parciais explicando a regra usada (cadeia): escrevemos f(x,y)=\ln\big(g(x,y)\big) com g(x,y)=x^{2}+y^{2}. A derivada de \ln(t) em relação a t é 1/t. Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial x}(x,y).
Como \dfrac{\partial g}{\partial x}(x,y)=2x, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
Analogamente, para y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
Comentário didático: cada variável é tratada como independente; ao derivar em x mantemos y como constante, por isso \partial(x^{2}+y^{2})/\partial x=2x.

Passo 3

Agora calculamos o gradiente no ponto (2,1). O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Substituindo x=2 e y=1:
\frac{\partial f}{\partial x}(2,1)=\frac{2\cdot 2}{2^{2}+1^{2}}=\frac{4}{5}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(2,1)=\frac{2\cdot 1}{2^{2}+1^{2}}=\frac{2}{5}.
Portanto
\nabla f(2,1)=\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right).
Didática rápida: o gradiente aponta na direção de maior crescimento de f, e seu módulo dá a taxa de crescimento máximo.

Passo 4

Precisamos do vetor unitário na direção de \vec{v}=(-1,2). A normalização é feita dividindo pelo comprimento:
|\vec{v}|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
Logo o vetor unitário é
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Comentário: usamos vetor unitário porque a derivada direcional padrão é definida para direções de comprimento 1; isso remove escala da velocidade.

Passo 5

Fórmula da derivada direcional (explicada): a derivada direcional de f em (x_{0},y_{0}) na direção do vetor unitário \vec{u} é o produto escalar entre o gradiente e \vec{u}:
\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(x_{0},y_{0})=\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot\vec{u}.
Explicação do produto escalar: para vetores (a,b) e (c,d), o produto escalar é ac+bd e representa a projeção (taxa de variação) do primeiro na direção do segundo.

Passo 6

Aplicando a fórmula com \nabla f(2,1)=\left(\dfrac{4}{5},\dfrac{2}{5}\right) e \vec{u}=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}},\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right):
\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(2,1) =\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Calculando componente a componente:
\frac{4}{5}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)+\frac{2}{5}\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) =-\frac{4}{5\sqrt{5}}+\frac{4}{5\sqrt{5}}=0.
Observação: embora cada parcela não seja zero, elas se cancelam exatamente, resultando em derivada direcional nula.

Passo 7

Interpretação geométrica e incentivo: o resultado zero significa que, ao nos deslocarmos a partir do ponto (2,1) na direção de \vec{v}=(-1,2), o valor de f não varia (a primeira ordem). Em termos geométricos, isso indica que \vec{u} é tangente à curva de nível de f que passa por (2,1). Você conseguiu! Mesmo com cara de conta longa, a ideia é sempre: achar gradiente, normalizar direção, fazer produto escalar — e pronto.

Resposta

\nabla f(2,1)=\left(\dfrac{4}{5},\dfrac{2}{5}\right)
\vec{u}=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}},\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)
\dfrac{\partial f}{\partial \vec{u}}(2,1)=0

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