Resolver esta equação para y em termos de t, c, r.
\begin{array}{ccc} \ln (1-y)-\ln y & = & c-r t \\\ \ln \left(\frac{1-y}{y}\right) & = & c-r t \\\ \frac{1-y}{y} & = & e^{c-r t} \\\\ 1 & = & y\left(1+e^{c-r t}\right) \\\ y & = & \frac{1}{1+e^{c-r t}} \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\ln(1-y)-\ln y = c - r\,t
para y em função de t, c e r. Vamos usar propriedades de logaritmo e exponenciação para isolar y.

Passo 2

Aplicamos a regra
\ln a - \ln b = \ln\!\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)
com a=1-y e b=y, obtendo
\ln\!\Bigl(\frac{1-y}{y}\Bigr) = c - r\,t.

Passo 3

Exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
\frac{1-y}{y} = e^{\,c - r\,t}.

Passo 4

Multiplicamos por y para eliminar o denominador:
1-y = y\,e^{\,c - r\,t}.

Passo 5

Reagrupamos os termos em y:
1 = y + y\,e^{\,c - r\,t} = y\bigl(1 + e^{\,c - r\,t}\bigr).

Passo 6

Finalmente, isolamos y dividindo por \bigl(1 + e^{\,c - r\,t}\bigr):
y = \frac{1}{1 + e^{\,c - r\,t}}.

Resposta

y = \frac{1}{1 + e^{\,c - r\,t}}.

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