Resolver equações diferenciais que permitem redução de ordem
y y^{\prime \prime}=y^{\prime 2}-y^{\prime 3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y\,y'' = (y')^2 - (y')^3
e pede para usar redução de ordem. Vamos tratar y como função de x, definir p(y)=y'(x) e usar a regra da cadeia.

Passo 2

Seja p = \frac{dy}{dx}. Então
y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\,\frac{dy}{dx} = p\,\frac{dp}{dy}.
Substituindo em y\,y'' = p^2 - p^3 obtemos
y\;p\,\frac{dp}{dy} = p^2 - p^3.
Para p\neq0 dividimos por p e fica
y\,\frac{dp}{dy} = p - p^2.

Passo 3

Separamos variáveis em p e y:
\frac{dp}{p(1-p)} = \frac{dy}{y}.
Fazendo frações parciais em \frac1{p(1-p)} = \frac1p + \frac1{1-p} e integrando,
\int\!\frac{dp}{p} + \int\!\frac{dp}{1-p} = \int\!\frac{dy}{y} \quad\Longrightarrow\quad \ln|p| - \ln|1-p| = \ln|y| + C_1.

Passo 4

Da relação acima sai
\frac{p}{1-p} = C_2\,y,
onde C_2 = e^{C_1}. Como p = y', temos
\frac{dy}{dx} = \frac{C_2\,y}{1 + C_2\,y}.

Passo 5

Essa é uma equação de primeira ordem separável. Escrevemos
\frac{1 + C_2\,y}{y}\,dy = C_2\,dx \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac1y + C_2\Bigr)dy = C_2\,dx
e integramos:
\ln|y| + C_2\,y = C_2\,x + C_3.

Passo 6

A solução geral implícita é
\ln|y| + C_2\,y - C_2\,x = C_3,
com constantes C_2,C_3. Podemos escrever explicitamente usando a função de Lambert W:
y\,e^{C_2\,y} = e^{C_2\,x + C_3} \quad\Longrightarrow\quad C_2\,y\,e^{C_2\,y} = C_2\,e^{C_3}e^{C_2\,x} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \frac1{C_2}\;W\!\bigl(K\,e^{C_2\,x}\bigr),
onde K = C_2\,e^{C_3}.
Além disso, a solução trivial y'=0
y(x) = \text{constante}.

Resposta

Soluções gerais:
\boxed{\ln|y| + C_2\,y = C_2\,x + C_3} \quad\text{ou}\quad \boxed{y(x) = \frac1{C_2}\,W\!\bigl(K\,e^{C_2\,x}\bigr)},
com C_2,C_3,K constantes arbitrárias, e ainda a solução trivial \,y(x)=\text{constante}.

Exercícios relacionados