Resolver equações diferenciais que permitem redução de ordem
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
e pede para usar redução de ordem. Vamos tratar
como função de
, definir
e usar a regra da cadeia.
Passo 2
Seja
. Então
Substituindo em
obtemos
Para
dividimos por
e fica
Passo 3
Separamos variáveis em
e
:
Fazendo frações parciais em
e integrando,
Passo 4
Da relação acima sai
onde
. Como
, temos
Passo 5
Essa é uma equação de primeira ordem separável. Escrevemos
e integramos:
Passo 6
A solução geral implícita é
com constantes
. Podemos escrever explicitamente usando a função de Lambert
:
onde
.
Além disso, a solução trivial dá
Além disso, a solução trivial
Resposta
Soluções gerais:
com
constantes arbitrárias, e ainda a solução trivial