Resolver um sistema de equações diferenciais
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=x-y, \\\ \dot{y}=y-4 x .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de coeficientes constantes
\begin{cases} \dot{x}=x-y,\\\ \dot{y}=y-4x. \end{cases}
Vamos usar o método de desacoplamento: derivar a primeira equação e eliminar y, obtendo uma equação de segunda ordem para x(t).

Passo 2

Derivando \dot{x}=x-y em relação a t temos
\ddot{x}=\dot{x}-\dot{y}.
Mas de \dot{y}=y-4x segue \dot{y}=y-4x. Substituindo em \ddot{x}=\dot{x}-\dot{y}:
\ddot{x}=\dot{x} - \bigl(y-4x\bigr).
Como y=x-\dot{x} (da primeira equação), temos
\ddot{x}=\dot{x}-\bigl((x-\dot{x})-4x\bigr) =\dot{x}-\bigl(x-\dot{x}-4x\bigr) =\dot{x}-(-\dot{x}-3x) =2\dot{x}+3x.

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão,
\ddot{x}-2\dot{x}-3x=0.
A equação característica é
r^2-2r-3=0,
cuja solução é
r=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm4}{2}\;\Longrightarrow\;r_1=3,\;r_2=-1.

Passo 4

Daí a solução geral para x(t) é
x(t)=C_1e^{3t}+C_2e^{-t},
em que C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Para obter y(t), use y=x-\dot{x}. Calculando
\dot{x}(t)=3C_1e^{3t}-C_2e^{-t},
segue
y(t)=x(t)-\dot{x}(t) =\bigl(C_1e^{3t}+C_2e^{-t}\bigr) -\bigl(3C_1e^{3t}-C_2e^{-t}\bigr) =-2C_1e^{3t}+2C_2e^{-t}.

Resposta

x(t)=C_1e^{3t}+C_2e^{-t},
y(t)=-2C_1e^{3t}+2C_2e^{-t}.

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