Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
(1+x^2) dy - x y dx = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar entender como isolar as variáveis y e x em lados diferentes da equação para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para expressar .
Começamos com:
Podemos isolar da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x. Queremos que todos os termos com y fiquem de um lado e os termos com x fiquem do outro lado.
Dividindo ambos os lados por y e multiplicando por , temos:

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação.
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Fazendo a substituição , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 5

Juntando as integrais, temos:
Podemos simplificar as constantes e em uma única constante C, assim:

Passo 6

Para resolver a expressão para y, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Onde é uma constante arbitrária.
Simplificando, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde K é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados