Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
sec^2(x) * tg(y) dx + sec^2(y) * tg(x) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para resolver a seguinte equação por separação de variáveis:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente usando o método de separação de variáveis. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todas as expressões com fiquem de um lado e as com fiquem do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Podemos reescrever isso isolando :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Dividimos ambos os lados da equação por :
Simplificando a fração:

Passo 4

Vamos lembrar que e . Substituindo essas identidades:
Simplificando:

Passo 5

Agora, observe que podemos simplificar ainda mais:
Mas, para facilitar a integração, vamos reorganizar a equação original.

Passo 6

Voltando à equação original:
Podemos notar que essa é uma equação exata, pois os termos parciais em relação a e são iguais. Ou seja:
onde e .

Passo 7

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 8

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os dois lados:
Isso implica que , ou seja, é uma constante.

Passo 9

Portanto, a função potencial é:
onde é uma constante qualquer.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

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