Resolver em função de k cada um dos sistemas seguintes:
\left(\begin{array}{ll}1 & k \\\ k & 1\end{array}\right)\binom{x}{y}=\binom{1}{1}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em função do parâmetro k\), o sistema linear de duas equações \[\begin{cases} x + k\,y = 1,\\\ k\,x + y = 1, \end{cases}
ou seja, encontrar (x,y)\] em termos de \(k. O conteúdo principal é sistema linear 2\times2 com parâmetro, e vamos usar determinante e Regra de Cramer, além de analisar os casos em que a matriz dos coeficientes fica singular.

Passo 2

Calcular o determinante da matriz dos coeficientes
\Delta = \det\begin{pmatrix}1 & k\\[6pt]k & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - k\cdot k =1 - k^2.]

Passo 3

Se \Delta\neq0 (isto é, k^2\neq1), a matriz é invertível e o sistema tem solução única por Cramer. Substituindo a coluna de x pelo vetor (1,1) e mantendo a de y obtemos o numerador de x:
\Delta_x =\det\begin{pmatrix}1 & k\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - k\cdot1 =1 - k.
Logo
x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{1 - k}{1 - k^2} = \frac{1 - k}{(1 - k)(1 + k)} = \frac{1}{1 + k}.
De modo análogo, substituindo a coluna de y pelo vetor (1,1) achamos
\Delta_y =\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]k & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - 1\cdot k =1 - k,
portanto
y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{1 - k}{1 - k^2} = \frac{1}{1 + k}.]

Passo 4

Se [\Delta=0) com k^2=1, a matriz é singular e devemos verificar compatibilidade:
Para k=1, o sistema vira
\begin{cases} x + y = 1,\\\ x + y = 1, \end{cases}
que é a mesma equação repetida e admite infinitas soluções parametrizadas por (t\in\mathbb{R}]:
x = t,\quad y = 1 - t.

Passo 5

Para k=-1, o sistema torna-se
\begin{cases} x - y = 1,\\[4pt] -\,x + y = 1, \end{cases}
isto é,
x - y = 1 \quad\text{e}\quad x - y = -1,
que é contraditório. Logo não há solução.]

Resposta

Para k\neq \pm 1:
(x,y) = \Bigl(\tfrac{1}{1 + k},\,\tfrac{1}{1 + k}\Bigr).
Para k=1: infinitas soluções x=t,\;y=1-t,\;t\in\mathbb{R}. Para k=-1: sem solução.

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