Resolver em função de k cada um dos sistemas seguintes:
\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & -1 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2 \\\ k \\\ k^{2}\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em função do parâmetro k, o sistema linear
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\x_{2}\x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\k\k^{2} \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: vamos verificar primeiro o determinante da matriz dos coeficientes para saber se o sistema é singular, depois usar eliminação de Gauss para estudar a consistência e, finalmente, encontrar a solução geral quando existir.

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}.
Temos
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&4\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&4\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&-1\end{pmatrix} =5+4-9=0.
Como \det(A)=0, o sistema é singular e pode não ter solução única.

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss: das equações
\begin{cases} x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=2,\\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=k,\\\\ 2x_{1}-x_{2}+4x_{3}=k^{2}, \end{cases}
subtraímos a segunda da primeira e subtraímos duas vezes a segunda da terceira, obtendo o mesmo pivô em ambas:
-3x_{2}+2x_{3}=2-k, \quad -3x_{2}+2x_{3}=k^{2}-2k.
Para que haja consistência, os dois termos independentes devem coincidir:
2-k = k^{2}-2k \;\Longrightarrow\; k^{2}-k-2=0 \;\Longrightarrow\; k\in\{2,\,-1\}.

Passo 4

Conclusão de existência de solução:
  • Se k\notin\{2,-1\}, o sistema fica inconsistente (os membros direitos diferem) e não tem solução.
  • Se k\in\{2,-1\}, há uma equação redundante e o posto da matriz é 2, gerando família de soluções com 1 parâmetro livre.

Passo 5

Caso k=2. A equação reduzida é
-3x_{2}+2x_{3}=2-2=0 \;\Longrightarrow\; 2x_{3}=3x_{2} \;\Longrightarrow\; x_{3}=\tfrac32\,x_{2}.
Da segunda equação original \;x_{1}+x_{2}+x_{3}=2,
vem
x_{1}=2 - x_{2}-x_{3} =2 - x_{2} - \tfrac32x_{2} =2 - \tfrac52x_{2}.
Logo, para k=2 a solução geral é
\bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr) =\Bigl(2-\tfrac52 t,\;t,\;\tfrac32 t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

Passo 6

Caso k=-1. A equação reduzida é
-3x_{2}+2x_{3}=2-(-1)=3 \;\Longrightarrow\; 2x_{3}=3+3x_{2} \;\Longrightarrow\; x_{3}=\tfrac32 + \tfrac32x_{2}.
Da segunda equação x_{1}+x_{2}+x_{3}=-1 obtemos
x_{1}=-1 - x_{2} - x_{3} =-1 - x_{2} - \Bigl(\tfrac32 + \tfrac32x_{2}\Bigr) =-\tfrac52 - \tfrac52x_{2}.
Assim, para k=-1 a solução geral é
\bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr) =\Bigl(-\tfrac52-\tfrac52 t,\;t,\;\tfrac32+\tfrac32 t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Para k\notin\{2,-1\}: sem solução.
Para k=2: \displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=\bigl(2-\tfrac52 t,\;t,\;\tfrac32 t\bigr), t\in\mathbb{R}.
Para k=-1: \displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=\bigl(-\tfrac52-\tfrac52 t,\;t,\;\tfrac32+\tfrac32 t\bigr), t\in\mathbb{R}.

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