Resolver em função de k cada um dos sistemas seguintes:
\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & k \\\\ 1 & k & 1 \\\ k & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 1 \\\\ -2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em função de k, o sistema
A\mathbf{x} = \mathbf{b},
onde
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\[6pt] 1 & k & 1 \\[6pt] k & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.
O conteúdo usado será determinante de matriz, regra de Cramer e estudo de sistemas singulares.]

Passo 2

Calculamos o determinante de A:
\Delta = \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & k \\[3pt] 1 & k & 1 \\[3pt] k & 1 & 1 \end{vmatrix} = -k^3 + 3k - 2 = -(k-1)^2\,(k+2).]

Passo 3

Para k \neq 1 e k \neq -2 temos \Delta\neq0 e aplicação da regra de Cramer. Calculamos os determinantes auxiliares:
\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & k \\[3pt] 1 & k & 1 \\[3pt] -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} =2\,(k+2)\,(k-1), \quad \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & k \\[3pt] 1 & 1 & 1 \\[3pt] k & -2 & 1 \end{vmatrix} =-(k+2)\,(k-1),
\Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\[3pt] 1 & k & 1 \\[3pt] k & 1 & -2 \end{vmatrix} =-(k+2)\,(k-1).
Logo,
x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = -\frac{2}{\,k-1\,}, \quad x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{1}{\,k-1\,}, \quad x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{1}{\,k-1\,}.]

Passo 4

Para k=1, a matriz A torna-se \begin{pmatrix}1&1&1\\\ 1&1&1\\\ 1&1&1\end{pmatrix} e o sistema vira
x_1+x_2+x_3=1,\quad x_1+x_2+x_3=1,\quad x_1+x_2+x_3=-2,
que é impossível. Portanto não há solução.

Passo 5

Para k=-2, o sistema é
x_1+x_2-2x_3=1,\quad x_1-2x_2+x_3=1,\quad -2x_1+x_2+x_3=-2.
Das duas primeiras equações obtemos x_3=x_2 e x_1=1+x_2; a terceira é redundante. Logo há infinitas soluções
(x_1,x_2,x_3) = (1+t,\;t,\;t),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Para k\neq1 e k\neq-2:
x_1 = -\frac{2}{\,k-1\,},\quad x_2 = x_3 = \frac{1}{\,k-1\,}.
Para k=1: não há solução.
Para k=-2: infinitas soluções
(x_1,x_2,x_3) = (1+t,\;t,\;t),\quad t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados