Resolver os modelos em programação linear, usando o método Simplex.
Max. Lucro
=2 × 1+3 × 2+4 × 3
Sujeito a:
{
x_{1}+x_{2}+x_{3} ≤ 100
2 x_{1}+x_{2} ≤ 210
x_{1} ≤ 80
x_{1} ≥ 0, x_{2} ≥ 0, x_{3} ≥ 0
}

Passo 1

O enunciado pede maximizar o lucro dado por \; \text{Lucro} = 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}\;\) sujeito às restrições \[\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3} \le 100,\\[4pt] 2x_{1}+x_{2} \le 210,\\[4pt] x_{1} \le 80,\\[4pt] x_{1}\ge 0,\; x_{2}\ge 0,\; x_{3}\ge 0. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • Função objetivo: \;2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}\]. - Três restrições lineares do tipo “\(\le”.
    - Variáveis não-negativas.
    O que se pede: resolver o problema por programação linear usando o método Simplex e determinar a solução ótima (valores de x_{1},x_{2},x_{3} e o lucro máximo).]

Passo 2

Colocar o problema em forma padrão (igualdades) introduzindo variáveis folga (slack) \;s_{1},s_{2},s_{3}\ge 0:
\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+x_{3}+s_{1} &= 100,\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}+s_{2} &= 210,\\[4pt] x_{1}+s_{3} &= 80. \end{aligned}
A solução básica inicial natural é tomar as folgas como variáveis básicas:
s_{1}=100-x_{1}-x_{2}-x_{3},\qquad s_{2}=210-2x_{1}-x_{2},\qquad s_{3}=80-x_{1}.
A função objetivo escrita como equação para o Simplex:
z = 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}.
No Simplex começamos com x_{1}=x_{2}=x_{3}=0 e s_{1}=100,\;s_{2}=210,\;s_{3}=80. O valor inicial de z é z=0.]

Passo 3

Ideia do Simplex (intuitiva): manter uma solução básica viável e tentar aumentar z trazendo uma variável não-básica para a base (variável que “entra”) enquanto outra sai, escolhendo a variável que mais aumenta z. Isso é feito olhando os coeficientes da função objetivo expressa em termos das não-básicas (reduced costs) e aplicando o teste de razão mínima para garantir viabilidade.
No início temos a forma explícita das igualdades (com as folgas como básicas). A equação objetivo, sem substituições, é
z = 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}.
No formato usado para escolher quem entra, olhamos os coeficientes diretos (2,3,4) e, para maximizar, trazemos a variável com maior coeficiente positiva na função objetivo (isto corresponde a escolher a coluna cujo aumento aumenta mais z). Aqui isso é x_{3} (coeficiente 4). Outra forma equivalente: na forma z - 2x_{1}-3x_{2}-4x_{3}=0 escolhemos a coluna com coeficiente mais negativo (aqui -4), que também indica x_{3} entra.
Aplicar teste de razão mínima para saber qual variável básica sai. Olhamos as equações e as coeficientes da coluna x_{3}:
  • Na equação 1: coeficiente de x_{3} é 1, razão \;100/1=100.
  • Na equação 2: coeficiente de x_{3} é 0 (não restringe).
  • Na equação 3: coeficiente de x_{3} é 0 (não restringe).
Só a primeira equação tem coeficiente positivo em x_{3}, logo a razão mínima é 100 e a variável que sai é s_{1}. Portanto pivotamos pela linha 1 e coluna x_{3}: x_{3} entra e s_{1} sai.

Passo 4

Fazer o pivot (algebraicamente): resolver a equação 1 para x_{3}:
x_{3}=100-x_{1}-x_{2}-s_{1}.
Substituir essa expressão nas outras equações e na função objetivo para atualizar a base.
Atualizando as demais equações:
  • Equação 2 (mantém s_{2}):
s_{2}=210-2x_{1}-x_{2}\quad(\text{continua igual pois não tem }x_{3}).ã
  • Equação 3 (mantém s_{3}):
s_{3}=80-x_{1}\quad(\text{continua igual}).
Substituir x_{3} na função objetivo:
\begin{aligned} z &= 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}\\[4pt] &= 2x_{1}+3x_{2}+4(100-x_{1}-x_{2}-s_{1})\\[4pt] &= 400 -2x_{1}-x_{2}-4s_{1}. \end{aligned}
Escrevendo esta forma de z como
z = 400 -2x_{1} - x_{2} - 4s_{1},
vemos que, na expressão de z em termos das variáveis não-básicas (x_{1},x_{2},s_{1}), os coeficientes em frente a essas variáveis são -2,\,-1,\,-4, todos não-positivos.
Interpretação de optimalidade (forma prática): quando se escreve z como z = \text{RHS} + \sum (\text{coef}_j)\cdot(\text{não-básica}_j)ãá, se todos os \text{coef}_j \le 0 então aumentar qualquer variável não-básica (partindo de zero) não aumenta z (pelo contrário, diminui ou mantém). Portanto a solução atual é ótima.
Aqui os coeficientes são -2,-1,-4\le 0, logo a solução após este pivot é ótima — não há variável que entrando aumente z.]

Passo 5

Determinar a solução ótima avaliando básicos com as não-básicas = 0. Após o pivot a base é \{x_{3},s_{2},s_{3}\} e as não-básicas são \{x_{1},x_{2},s_{1}\}. Tomando x_{1}=0,\;x_{2}=0,\;s_{1}=0:
  • Da equação pivotada: x_{3}=100-0-0-0=100.
  • Da equação 2: s_{2}=210-2\cdot0-0=210.
  • Da equação 3: s_{3}=80-0=80.
    Calcular z:
z = 2\cdot 0 + 3\cdot 0 + 4\cdot 100 = 400.
Verificações rápidas das restrições originais com x_{1}=0,\;x_{2}=0,\;x_{3}=100:
\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+x_{3} &= 0+0+100 = 100 \le 100,\\\\ 2x_{1}+x_{2} &= 0 \le 210,\\\ x_{1} &= 0 \le 80, \end{aligned}
todas satisfeitas. Como o critério de optimalidade do Simplex foi atendido, esta é a solução ótima.

Resposta

x_{1}=0,\;x_{2}=0,\;x_{3}=100,\quad \text{Lucro máximo } z_{\max}=400á

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