Um sapateiro utiliza couro, cola e linha para fabricar cintos e botas masculinas. Supondo que os mesmos materiais são utilizados para ambas as peças e que, para a produção de cintos, ele consome 0,12 \mathrm{~m} 2 de couro, 25 mL de cola e 0,5 carretel de linha, utilizando, na produção de botas, 1 m 2 de couro,
150 mL de cola e 4 carretéis de linha. A disponibilidade que o sapateiro tem, na semana, é de 3 m 2 de couro, 1 L de cola e 25 carretéis de linha. Elabore um modelo de Programação Linear para maximizar os lucros, sendo que o cinto é vendido a \mathrm{R} \ 75,00 e a bota a\mathrm{R} $120,00$, além de que, na semana, ele deve produzir, pelo menos, 3 cintos.

Passo 1

O enunciado pede para montar um modelo de Programação Linear (PL) que maximize os lucros semanais do sapateiro, usando os dados de consumo de materiais e disponibilidade. As perguntas implícitas são:
  • Quais são as variáveis de decisão (o que vamos escolher)?
  • Qual é a função objetivo (o que queremos maximizar)?
  • Quais são as restrições (limitações de couro, cola, linha e exigência mínima de produção)?
Dados extraídos do enunciado:
  • Consumo por cinto: 0,12\\ \mathrm{m}^2 de couro, 25\\ \mathrm{mL} de cola, 0,5 carretel de linha.
  • Consumo por bota: 1\\ \mathrm{m}^2 de couro, 150\\ \mathrm{mL} de cola, 4 carretéis de linha.
  • Disponibilidade semanal: 3\\ \mathrm{m}^2 de couro, 1\\ \mathrm{L}=1000\\ \mathrm{mL} de cola, 25 carretéis de linha.
  • Preços de venda (usados aqui como receita por unidade, já que não foram dados custos): cinto =\mathrm{R}\$\,75,00, bota =\mathrm{R}\$\,120,00.
  • Restrição adicional: produzir, no mínimo, 3 cintos na semana.

Passo 2

Definir as variáveis de decisão (etapa fundamental em PL).
  • Seja x_1 o número de cintos produzidos por semana.
  • Seja x_2 o número de botas produzidas por semana.
Explicação didática: as variáveis representam quantidades que o sapateiro pode escolher. Em PL normalmente usamos variáveis contínuas não-negativas; se a produção exigir números inteiros, acrescenta-se a condição de integralidade (ver observação no final).

Passo 3

Montar a função objetivo: queremos maximizar a receita (lucro estático aqui) obtida vendendo cintos e botas.
  • Receita por cinto: \mathrm{R}\$\,75.
  • Receita por bota: \mathrm{R}\$\,120.
Logo a função objetivo é
\text{Maximizar } Z = 75\,x_1 + 120\,x_2.
Didática: a função objetivo é uma combinação linear das variáveis; os coeficientes são “valor por unidade”. Em provas, sempre identifique claramente o que cada coeficiente representa.

Passo 4

Construir a restrição do couro. Cada cinto consome 0,12\\ \mathrm{m}^2 e cada bota 1\\ \mathrm{m}^2. Disponibilidade total =3\\ \mathrm{m}^2. Assim:
0,12\,x_1 + 1\,x_2 \le 3.
Didática: escreva as unidades ao lado quando montar a desigualdade para evitar erros. O lado esquerdo é o consumo total; o lado direito é a disponibilidade.

Passo 5

Construir a restrição da cola. Converter 1\\ \mathrm{L} para \mathrm{mL}: 1\\ \mathrm{L}=1000\\ \mathrm{mL}. Consumos: cinto =25\\ \mathrm{mL}, bota =150\\ \mathrm{mL}. Disponibilidade =1000\\ \mathrm{mL}. Assim:
25\,x_1 + 150\,x_2 \le 1000.
Didática: sempre igualar unidades antes de somar. Se um dado estiver em litros e outro em mililitros, converta para a mesma unidade.

Passo 6

Construir a restrição da linha (carretéis). Consumos: cinto =0,5 carretel, bota =4 carretéis. Disponibilidade =25 carretéis. Assim:
0,5\,x_1 + 4\,x_2 \le 25.
Didática: coeficientes decimais como 0,5 representam meio carretel; mantenha consistência nas unidades e no formato decimal.

Passo 7

Incluir a exigência mínima de produção e a não-negatividade:
  • Produzir pelo menos 3 cintos:
x_1 \ge 3.
  • Não produzir número negativo de peças:
x_1 \ge 0,\qquad x_2 \ge 0.
Didática: restrições do tipo “ x_1 \ge 3” são restrições inferiores que fixam um mínimo. Em PL normalmente também exigimos x_i \ge 0 porque quantidades negativas não fazem sentido.

Passo 8

Observação sobre integralidade (opcional para a prova): se for obrigatório que x_1 e x_2 sejam inteiros (não se pode fabricar fração de peça), o modelo vira um problema de Programação Inteira (ou Inteira Mista) com as mesmas fórmulas, adicionando x_1, x_2 \in \mathbb{Z}_{\ge 0}. Se a prova pede só o modelo de PL, a forma contínua é suficiente; muitas vezes resolve-se a relaxação linear e depois arredonda ou resolve como inteiro se solicitado.

Passo 9

Resumo didático final: o modelo reúne (i) variáveis que escolhem quantidades, (ii) função objetivo que soma receitas, (iii) restrições que limitam por recursos disponíveis e exigência mínima. Em prova, escreva tudo claro, mostre as unidades e explique cada desigualdade como “consumo total ≤ disponibilidade”.

Resposta

Sejam x_1 o número de cintos e x_2 o número de botas produzidos por semana.
\text{Maximizar } Z = 75\,x_1 + 120\,x_2
sujeito a
0,12\,x_1 + 1\,x_2 \le 3
25\,x_1 + 150\,x_2 \le 1000
0,5\,x_1 + 4\,x_2 \le 25
x_1 \ge 3
x_1 \ge 0,\qquad x_2 \ge 0.

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