Um sapateiro utiliza couro, cola e linha para fabricar cintos e botas masculinas. Supondo que os mesmos materiais são utilizados para ambas as peças e que, para a produção de cintos, ele consome
de couro, 25 mL de cola e 0,5 carretel de linha, utilizando, na produção de botas, 1 m 2 de couro,
150 mL de cola e 4 carretéis de linha. A disponibilidade que o sapateiro tem, na semana, é de 3 m 2 de couro, 1 L de cola e 25 carretéis de linha. Elabore um modelo de Programação Linear para maximizar os lucros, sendo que o cinto é vendido a
75,00
\mathrm{R} $120,00$, além de que, na semana, ele deve produzir, pelo menos, 3 cintos.
Passo 1
O enunciado pede para montar um modelo de Programação Linear (PL) que maximize os lucros semanais do sapateiro, usando os dados de consumo de materiais e disponibilidade. As perguntas implícitas são:
- Quais são as variáveis de decisão (o que vamos escolher)?
- Qual é a função objetivo (o que queremos maximizar)?
- Quais são as restrições (limitações de couro, cola, linha e exigência mínima de produção)?
Dados extraídos do enunciado:
- Consumo por cinto:
de couro, de cola, carretel de linha. - Consumo por bota:
de couro, de cola, carretéis de linha. - Disponibilidade semanal:
de couro, de cola, carretéis de linha. - Preços de venda (usados aqui como receita por unidade, já que não foram dados custos): cinto
, bota . - Restrição adicional: produzir, no mínimo,
cintos na semana.
Passo 2
Definir as variáveis de decisão (etapa fundamental em PL).
- Seja
o número de cintos produzidos por semana. - Seja
o número de botas produzidas por semana.
Explicação didática: as variáveis representam quantidades que o sapateiro pode escolher. Em PL normalmente usamos variáveis contínuas não-negativas; se a produção exigir números inteiros, acrescenta-se a condição de integralidade (ver observação no final).
Passo 3
Montar a função objetivo: queremos maximizar a receita (lucro estático aqui) obtida vendendo cintos e botas.
- Receita por cinto:
. - Receita por bota:
.
Logo a função objetivo é
Didática: a função objetivo é uma combinação linear das variáveis; os coeficientes são “valor por unidade”. Em provas, sempre identifique claramente o que cada coeficiente representa.
Passo 4
Construir a restrição do couro. Cada cinto consome
e cada bota
. Disponibilidade total
. Assim:
Didática: escreva as unidades ao lado quando montar a desigualdade para evitar erros. O lado esquerdo é o consumo total; o lado direito é a disponibilidade.
Passo 5
Construir a restrição da cola. Converter
para
:
. Consumos: cinto
, bota
. Disponibilidade
. Assim:
Didática: sempre igualar unidades antes de somar. Se um dado estiver em litros e outro em mililitros, converta para a mesma unidade.
Passo 6
Construir a restrição da linha (carretéis). Consumos: cinto
carretel, bota
carretéis. Disponibilidade
carretéis. Assim:
Didática: coeficientes decimais como
representam meio carretel; mantenha consistência nas unidades e no formato decimal.
Passo 7
Incluir a exigência mínima de produção e a não-negatividade:
- Produzir pelo menos 3 cintos:
- Não produzir número negativo de peças:
Didática: restrições do tipo “
” são restrições inferiores que fixam um mínimo. Em PL normalmente também exigimos
porque quantidades negativas não fazem sentido.
Passo 8
Observação sobre integralidade (opcional para a prova): se for obrigatório que
e
sejam inteiros (não se pode fabricar fração de peça), o modelo vira um problema de Programação Inteira (ou Inteira Mista) com as mesmas fórmulas, adicionando
. Se a prova pede só o modelo de PL, a forma contínua é suficiente; muitas vezes resolve-se a relaxação linear e depois arredonda ou resolve como inteiro se solicitado.
Passo 9
Resumo didático final: o modelo reúne (i) variáveis que escolhem quantidades, (ii) função objetivo que soma receitas, (iii) restrições que limitam por recursos disponíveis e exigência mínima. Em prova, escreva tudo claro, mostre as unidades e explique cada desigualdade como “consumo total ≤ disponibilidade”.
Resposta
Sejam
o número de cintos e
o número de botas produzidos por semana.
sujeito a