Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um problema de equação diferencial parcial, especificamente a equação da onda:
utt = uxx, 0 < x < pi, , t > 0
O que precisamos resolver são as condições iniciais e de contorno:
u(x, 0) = sin(x), ut(x, 0) = 0 para , 0 <= x <= pi
u(0, t) = 0, u(pi, t) = 0 para , t >= 0
Vamos usar separação de variáveis para resolver isso. Precisamos entender como a solução pode ser escrita como um produto de funções que dependem só de x e só de t.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como u(x, t) = X(x)T(t). Substituindo isso na equação da onda:
X(x)T''(t) = X''(x)T(t)
Dividindo ambos os lados por X(x)T(t):
T''(t)T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante que vamos determinar. Isso nos dá duas equações ordinárias:
T''(t) + lambda T(t) = 0
X''(x) + lambda X(x) = 0
Passo 3
Agora, resolvemos a equação de X(x) com as condições de contorno X(0) = 0 e X(pi) = 0:
X''(x) + lambda X(x) = 0
Soluções não triviais existem se lambda = n^2, onde n é um número inteiro positivo. Assim, as soluções para X(x) são:
Xn(x) = sin(nx)
Passo 4
Com lambda = n^2, resolvemos a equação para T(t):
T''(t) + n^2 T(t) = 0
As soluções são:
Tn(t) = An cos(nt) + Bn sin(nt)
Passo 5
Assim, as soluções separadas são:
un(x, t) = sin(nx) ( An cos(nt) + Bn sin(nt) )
A solução geral é a soma dessas soluções para todos os n: