Determine a derivada
para as funções definidas implicitamente.
b)
b)
Passo 1
Temos a equação implícita
. O conteúdo é diferenciação implícita, e vamos precisar da regra da cadeia para
e da regra do produto para
.
Passo 2
Diferenciamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia:
[
\frac{d}{dx}[\cos(x-y)] = -\sin(x-y) \cdot \frac{d}{dx}(x-y) = -\sin(x-y) \cdot \bigl(1 - \frac{dy}{dx}\bigr).
]
No lado direito, aplicamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}[\cos(x-y)] = -\sin(x-y) \cdot \frac{d}{dx}(x-y) = -\sin(x-y) \cdot \bigl(1 - \frac{dy}{dx}\bigr).
]
No lado direito, aplicamos a regra do produto:
[
\frac{d}{dx}[x e^y] = 1 \cdot e^y + x \cdot e^y \cdot \frac{dy}{dx} = e^y + x e^y \frac{dy}{dx}.
]
\frac{d}{dx}[x e^y] = 1 \cdot e^y + x \cdot e^y \cdot \frac{dy}{dx} = e^y + x e^y \frac{dy}{dx}.
]
Passo 3
Agora igualamos as derivadas e isolamos
. Primeiro escrevemos a igualdade:
[
-\sin(x-y) + \sin(x-y)\frac{dy}{dx} = e^y + x e^y \frac{dy}{dx}.
]
Em seguida, agrupamos os termos com num lado:
-\sin(x-y) + \sin(x-y)\frac{dy}{dx} = e^y + x e^y \frac{dy}{dx}.
]
Em seguida, agrupamos os termos com
[
\sin(x-y)\frac{dy}{dx} - x e^y \frac{dy}{dx} = e^y + \sin(x-y).
]
Fatoramos e isolamos:
\sin(x-y)\frac{dy}{dx} - x e^y \frac{dy}{dx} = e^y + \sin(x-y).
]
Fatoramos
[
\frac{dy}{dx}\bigl(\sin(x-y)- x e^y\bigr) = e^y + \sin(x-y)
]
\frac{dy}{dx}\bigl(\sin(x-y)- x e^y\bigr) = e^y + \sin(x-y)
]
[
\frac{dy}{dx} = \frac{e^y + \sin(x-y)}{\sin(x-y) - x e^y}.
]
\frac{dy}{dx} = \frac{e^y + \sin(x-y)}{\sin(x-y) - x e^y}.
]