Resolver os problemas de valor inicial a seguir:
\left(x y^{2}+x\right) d x+\left(x^{2} y-y\right) d y=0, \quad y(0)=-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
\bigl(x\,y^{2}+x\bigr)\,dx+\bigl(x^{2}y - y\bigr)\,dy=0,
com a condição y(0)=-3.
O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos verificar se a equação é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \Psi(x,y) tal que d\Psi=0, depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=x\,(y^{2}+1), \quad N(x,y)=y\,(x^{2}-1).
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[x\,(y^{2}+1)\bigr] =2x\,y,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[y\,(x^{2}-1)\bigr] =2x\,y.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M(x,y).
Integramos M em relação a x:
\Psi(x,y) =\int x\,(y^{2}+1)\,dx =\frac{x^{2}}{2}\,(y^{2}+1)+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo \partial \Psi/\partial y=N(x,y), temos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} =\frac{x^{2}}{2}\cdot 2y + h'(y) =x^{2}\,y + h'(y) \stackrel!=y\,(x^{2}-1).
Logo
h'(y)=y\,(x^{2}-1)-x^{2}y=-y,
e integrando em y:
h(y)=-\frac{y^{2}}{2}+C_{1}.
Portanto a função potencial é
\Psi(x,y) =\frac{x^{2}}{2}\,(y^{2}+1)-\frac{y^{2}}{2}+C_{1}.
A condição geral \Psi(x,y)=\text{constante} pode ser escrita, multiplicando tudo por 2 e absorvendo 2C_{1} em uma constante C:
x^{2}(y^{2}+1)-y^{2}=C.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=-3. Substituindo x=0 e y=-3 em
x^{2}(y^{2}+1)-y^{2}=C
0^{2}\,(9+1)-(-3)^{2}=C \quad\Longrightarrow\quad -9=C.
Assim a solução implícita fica
x^{2}(y^{2}+1)-y^{2}=-9.

Passo 6

Isolando y (e lembrando que em x=0 temos y=-3<0, então escolhemos o ramo negativo da raiz):
x^{2}y^{2}+x^{2}-y^{2}=-9 \;\Longrightarrow\; y^{2}\,(x^{2}-1)=-9-x^{2} \;\Longrightarrow\; y^{2}=\frac{x^{2}+9}{1-x^{2}}.
Como y(0)=-3, temos
y(x)=-\sqrt{\frac{x^{2}+9}{1-x^{2}}}.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x)=-\sqrt{\frac{x^{2}+9}{1-x^{2}}}.

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