Resolver os problemas de valor inicial a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com a condição
.
O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos verificar se a equação é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial tal que
, depois aplicar a condição inicial.
O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos verificar se a equação é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Impondo
, temos
Logo
e integrando em
:
Portanto a função potencial é
A condição geral
pode ser escrita, multiplicando tudo por 2 e absorvendo
em uma constante
:
Passo 5
Usamos a condição inicial
. Substituindo
e
em
dá
Assim a solução implícita fica
Passo 6
Isolando
(e lembrando que em
temos
, então escolhemos o ramo negativo da raiz):
Como
, temos
Resposta
A solução do problema de valor inicial é