Resolver o seguinte sistema pelo método da Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:
(b)
(b)
Passo 1
Estamos resolvendo dois sistemas lineares 3×3 pelo método de Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial. Isso envolve:
- Montar a matriz aumentada.
- Em cada coluna, trocar a linha atual com aquela que tem o maior valor absoluto no pivô.
- Eliminar as entradas abaixo do pivô para obter uma matriz triangular superior.
- Fazer back-substituição para encontrar
.
Passo 2
Sistema (a):
A matriz aumentada inicial é
A matriz aumentada inicial é
Na coluna 1 o maior pivô em módulo é 3 (linha 3), trocamos linha 1↔linha 3, obtendo
Passo 3
Eliminamos abaixo do pivô
:
.
Linha 2←Linha 2− ⋅Linha 1 e Linha 3←Linha 3−
⋅Linha 1, dando
Linha 2←Linha 2−
Passo 4
Coluna 2: entre
e
o maior é
(linha 3), trocamos linha 2↔linha 3.
Em seguida eliminamos abaixo com
Em seguida eliminamos abaixo com
Linha 3←Linha 3−
⋅Linha 2, resultando em
Passo 5
Back-substituição em (a):
Da 3ª linha, ⇒
.
Da 2ª linha, ⇒
.
Da 1ª linha, ⇒
.
Da 3ª linha,
Da 2ª linha,
Da 1ª linha,
Passo 6
Sistema (b):
Coluna 1: maior em módulo é
(linha 2), trocamos linha 1↔linha 2.
Calculamos
Calculamos
e eliminamos linhas 2 e 3, obtendo
Passo 7
Coluna 2: pivô em módulo maior é
(linha 2), sem troca.
Eliminamos na linha 3 com
Eliminamos na linha 3 com
Linha 3←Linha 3−
⋅Linha 2, resultando em
Passo 8
Back-substituição em (b):
3ª linha: ⇒
.
2ª linha: ⇒
.
1ª linha:
3ª linha:
2ª linha:
1ª linha:
⇒
.
Resposta
(a)
(b)
(b)