Resolver o seguinte sistema pelo método da Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=3 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=0 \\\\ 3 x_{1}-2 x_{2}-x_{3}=-2\end{array}\right.
(b) \left\{\begin{array}{l}2,11 x_{1}-4,21 x_{2}+0,921 x_{3}=2,01 \\\\ 4,01 x_{1}+10,2 x_{2}-1,12 x_{3}=-3,09 \\\\ 1,09 x_{1}+0,987 x_{2}+0,832 x_{3}=4,21\end{array}\right.

Passo 1

Estamos resolvendo dois sistemas lineares 3×3 pelo método de Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial. Isso envolve:
  1. Montar a matriz aumentada.
  2. Em cada coluna, trocar a linha atual com aquela que tem o maior valor absoluto no pivô.
  3. Eliminar as entradas abaixo do pivô para obter uma matriz triangular superior.
  4. Fazer back-substituição para encontrar x_1,x_2,x_3.

Passo 2

Sistema (a):
A matriz aumentada inicial é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 &\vrule& 3\\\\ 2 & 1 & -1&\vrule& 0\\\\ 3 & -2& -1&\vrule& -2 \end{pmatrix}
Na coluna 1 o maior pivô em módulo é 3 (linha 3), trocamos linha 1↔linha 3, obtendo
\begin{pmatrix} 3 & -2 & -1 &\vrule& -2\\\\ 2 & 1 & -1 &\vrule& 0\\\\ 1 & 2 & 1 &\vrule& 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminamos abaixo do pivô 3:
m_{21}=\tfrac{2}{3},\;m_{31}=\tfrac{1}{3}.
Linha 2←Linha 2− m_{21}⋅Linha 1 e Linha 3←Linha 3− m_{31}⋅Linha 1, dando
\begin{pmatrix} 3 & -2 & -1 &\vrule& -2\\\\ 0 & \tfrac{7}{3} & -\tfrac{1}{3} &\vrule& \tfrac{4}{3}\\\\ 0 & \tfrac{8}{3} & \tfrac{4}{3} &\vrule& \tfrac{11}{3} \end{pmatrix}.

Passo 4

Coluna 2: entre \tfrac{7}{3} e \tfrac{8}{3} o maior é \tfrac{8}{3} (linha 3), trocamos linha 2↔linha 3.
Em seguida eliminamos abaixo com
m_{32}=\frac{\tfrac{7}{3}}{\tfrac{8}{3}}=\frac78,
Linha 3←Linha 3− m_{32}⋅Linha 2, resultando em
\begin{pmatrix} 3 & -2 & -1 &\vrule& -2\\\\ 0 & \tfrac{8}{3} & \tfrac{4}{3} &\vrule& \tfrac{11}{3}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{3}{2} &\vrule& -\tfrac{15}{8} \end{pmatrix}.

Passo 5

Back-substituição em (a):
Da 3ª linha, -\tfrac32\,x_3=-\tfrac{15}{8} x_3=\tfrac54.
Da 2ª linha, \tfrac{8}{3}x_2+\tfrac{4}{3}\cdot\tfrac54=\tfrac{11}{3} x_2=\tfrac34.
Da 1ª linha, 3x_1-2\cdot\tfrac34-\tfrac54=-2 x_1=\tfrac14.

Passo 6

Sistema (b):
\begin{pmatrix} 2,11 & -4,21 & 0,921 &\vrule& 2,01\\\\ 4,01 & 10,2 & -1,12 &\vrule& -3,09\\\\ 1,09 & 0,987 & 0,832 &\vrule& 4,21 \end{pmatrix}
Coluna 1: maior em módulo é 4,01 (linha 2), trocamos linha 1↔linha 2.
Calculamos
m_{21}=\frac{2,11}{4,01}\approx0,526,\quad m_{31}=\frac{1,09}{4,01}\approx0,272
e eliminamos linhas 2 e 3, obtendo
\begin{pmatrix} 4,01 & 10,2 & -1,12 &\vrule& -3,09\\\\ 0 & -9,575 & 1,510 &\vrule& 3,636\\\\ 0 & -1,786 & 1,136 &\vrule& 5,050 \end{pmatrix}.

Passo 7

Coluna 2: pivô em módulo maior é -9,575 (linha 2), sem troca.
Eliminamos na linha 3 com
m_{32}=\frac{-1,786}{-9,575}\approx0,187,
Linha 3←Linha 3− m_{32}⋅Linha 2, resultando em
\begin{pmatrix} 4,01 & 10,2 & -1,12 &\vrule& -3,09\\\\ 0 & -9,575 & 1,510 &\vrule& 3,636\\\\ 0 & 0 & 0,854 &\vrule& 4,371 \end{pmatrix}.

Passo 8

Back-substituição em (b):
3ª linha: 0,854\,x_3=4,371 x_3\approx5,119.
2ª linha: -9,575\,x_2+1,510\cdot5,119=3,636 x_2\approx0,428.
1ª linha:
4,01\,x_1+10,2\cdot0,428-1,12\cdot5,119=-3,09
x_1\approx-0,428.

Resposta

(a) x_{1}=\tfrac14,\;x_{2}=\tfrac34,\;x_{3}=\tfrac54
(b) x_{1}\approx-0,428,\;x_{2}\approx0,428,\;x_{3}\approx5,119

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