1^{\text {a }} Questão (13 pontos): Sejam os problemas de Programação Linear:
\max
z=6 x_{1}
+2 x_{2}
sujeito às
-1 x_{1}
+x_{2}
\geq 1
retricọos
(1)
+x_{2}
\leq 4
(2)
x_{1} \in R\left(3^{\prime}\right)
x_{2} \geq-1
\left(3^{\prime \prime}\right)
( 1 - pontos): mostre a solução básica inicial
( 4 - pontos): resolva graficamente o problema
( 4 - pontos): construa o quadro inicial do simplex
( 4 - pontos): faça iteraçōes do simplex até obter uma soluçāo ótima ou interrompoer o simplex por uma outra razão, diga qual a razāo, se interromper as iterações do simplex.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos o problema de Programação Linear
Escolhemos como básicos a_{1} e s_{2}; todos os demais (incluindo x_{1}^{+},x_{1}^{-},\hat x_{2},s_{1}) ficam zerados.
Da equação a_{1}=2 + x_{1}^{+}-x_{1}^{-}-\hat x_{2}+s_{1}, em x_{1}^{+}=x_{1}^{-}=\hat x_{2}=s_{1}=0 obtemos
a_{1}=2,\quad s_{2}=5.
Essa é a solução básica inicial para a Fase I.
Passo 3
Para conferir, resolvemos graficamente o problema original.
A região viável é \{(x_{1},x_{2})\mid -x_{1}+x_{2}\ge1,\,-1\le x_{2}\le4\}.
A reta de nível de z tem inclinação -3 e, para maximizar, “puxa” o ponto mais à direita.
A interseção das restrições atinge-se em \bigl(x_{1},x_{2}\bigr)=(3,4), e
Aqui w é a função-objetivo da Fase I: minimizar w=a_{1}.
Passo 5
Iterações do Simplex
Fase I:
Na linha de w, o coeficiente mais positivo é +1 em x_{1}^{-}, então x_{1}^{-} entra.
Somente a restrição de a_{1} tem coeficiente positivo em x_{1}^{-}, razão 2/1=2. Pivô na interseção (a_{1},x_{1}^{-}).
Após o pivô, a_{1} sai da base, x_{1}^{-} entra e obtém-se w_{\min}=0. Como w=0, removemos a_{1} e seguimos para a Fase II com base \{x_{1}^{-},s_{2}\}.
Fase II (reajustando a função z):
Em variáveis transformadas, z=6(x_{1}^{+}-x_{1}^{-})+2(\hat x_{2}-1)\;\Longrightarrow\;z' =6x_{1}^{+}-6x_{1}^{-}+2\hat x_{2}, constante -2 à parte.
Monta‐se o tableau inicial da Fase II com base \{x_{1}^{-},s_{2}\}, linha-z atualizada.
O coeficiente positivo mais forte na linha-z é de \hat x_{2}; entra \hat x_{2}, sai s_{2}.
Após esse pivô, todos os coeficientes de z são \le0; atingimos a ótima.