Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(4)}+2 y^{(3)}-3 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-5 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes
y^{(4)} + 2\,y^{(3)} - 3\,y'' + 4\,y' -5\,y = 0
O método padrão é usar a equação característica, cujas raízes determinam a forma geral da solução.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à EDO, trocando y^{(k)} por r^k:
r^4 + 2r^3 -3r^2 +4r -5 = 0.
Esta é uma equação algébrica de quarto grau. Procuramos suas raízes, que podem ser reais ou complexas.

Passo 3

Fazemos antes um teste de raízes racionais ( \pm 1, \pm 5), mas nenhuma funciona. Logo, recorremos a métodos numéricos (ou ao teorema de D’Alembert):
– Duas raízes são reais e distintas, aproximadamente
r_1 \approx 1{,}111,\qquad r_2 \approx -3{,}334.
– As outras duas vêm em par conjugado \alpha\pm i\beta. Usando soma e produto das raízes:
r_1 + r_2 + 2\alpha = -2\quad(\text{soma}=-2), \quad r_1\,r_2\,( \alpha^2+\beta^2)= -5\quad(\text{produto}=-5),
chegamos a
\alpha \approx 0{,}112,\qquad \beta \approx 1{,}156.

Passo 4

Para cada raiz real r_i temos um termo e^{r_i x}. Para o par complexo \alpha\pm i\beta usamos a combinação
e^{\alpha x}\bigl(C_3\cos(\beta x)+C_4\sin(\beta x)\bigr).
Assim, a solução geral é uma combinação linear dos quatro modos independentes.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = C_1\,e^{1{,}111\,x} \;+\; C_2\,e^{-3{,}334\,x} \;+\; e^{0{,}112\,x}\bigl(C_3\cos(1{,}156\,x) + C_4\sin(1{,}156\,x)\bigr),
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias.

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