Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO linear homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes
O método padrão é usar a equação característica, cujas raízes determinam a forma geral da solução.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada à EDO, trocando
por
:
Esta é uma equação algébrica de quarto grau. Procuramos suas raízes, que podem ser reais ou complexas.
Passo 3
Fazemos antes um teste de raízes racionais (
,
), mas nenhuma funciona. Logo, recorremos a métodos numéricos (ou ao teorema de D’Alembert):
– Duas raízes são reais e distintas, aproximadamente
– Duas raízes são reais e distintas, aproximadamente
– As outras duas vêm em par conjugado
. Usando soma e produto das raízes:
chegamos a
Passo 4
Para cada raiz real
temos um termo
. Para o par complexo
usamos a combinação
Assim, a solução geral é uma combinação linear dos quatro modos independentes.
Resposta
A solução geral da EDO é
onde
são constantes arbitrárias.