Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de ordem 5 com coeficientes constantes
O método será: (i) achar a solução geral da homogênea via equação característica; (ii) achar uma solução particular por coeficientes indeterminados; (iii) somar as duas para obter a solução geral.
Passo 2
Escrevemos a equação característica da parte homogênea
:
Logo
é uma raiz simples e as outras quatro raízes
são as soluções de
A solução geral homogênea é então
Passo 3
Para a parte não homogênea
usamos coeficientes indeterminados. Como há a raiz
(multiplicidade 1), multiplicamos o polinômio de grau 3 por
. E como
não são raízes, para
usamos
. Logo o palpite é
Passo 4
Calculamos as derivadas necessárias de
, separando parte polinomial e parte trigonométrica:
Parte polinomial
:
Parte trigonométrica
:
Passo 5
Substituímos
e agrupamos termos:
- Da parte polinomial:
Isto deve igualar
, logo
- Da parte trigonométrica:
que deve igualar
, ou seja
Passo 6
Resolvendo cada sistema:
Do polinômio:
Da trigonometria:
Portanto
Resposta
A solução geral é
onde
são as raízes de
.