Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(5)}+2 y^{(4)}-3 y^{\prime \prime}+5 y=0

Passo 1

Estamos diante de uma EDO linear homogênea de ordem cinco com coeficientes constantes:
y^{(5)}+2\,y^{(4)}-3\,y''+5\,y=0.
O método padrão aqui é assumir uma solução do tipo y=e^{r x} e obter a equação característica, cujas raízes determinam a forma da solução geral.

Passo 2

Assumindo y=e^{r x} temos
y' =r e^{r x},\quad y'' =r^2 e^{r x},\quad y^{(4)}=r^4 e^{r x},\quad y^{(5)}=r^5 e^{r x}.
Substituindo na EDO e dividindo por e^{r x}\neq0 vem
r^5 +2\,r^4 -3\,r^2 +5=0,
que é a equação característica associada.

Passo 3

As cinco raízes r_1,r_2,r_3,r_4,r_5 dessa equação podem ser reais ou complexas (em geral teremos uma raiz real e dois pares conjugados). A solução geral da EDO é então
y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}+C_3 e^{r_3 x}+C_4 e^{r_4 x}+C_5 e^{r_5 x},
onde os C_i são constantes arbitrárias e cada r_i satisfaz
r_i^5+2\,r_i^4-3\,r_i^2+5=0.

Resposta

y(x)=\sum_{i=1}^{5}C_i\,e^{r_i x}, \quad \text{com \(r_i\) raízes de }\; r^5+2r^4-3r^2+5=0.í

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