Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(5)}+y^{(4)}-2 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=x^{2} \sin (x)+e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear de coeficientes constantes
y^{(5)} + y^{(4)} - 2\,y'' + 3\,y' = x^2\sin(x) + e^x.
O conteúdo aqui envolve duas partes:
  1. encontrar a solução homogênea resolvendo a equação característica;
  2. encontrar uma solução particular por método dos coeficientes indeterminados, usando um ansatz para cada termo do lado direito.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y^{(5)} + y^{(4)} - 2\,y'' + 3\,y' = 0
e escrevemos a equação característica
r^5 + r^4 -2\,r^2 +3\,r = 0.
Fatorando r, obtemos
r\,(r^4 + r^3 -2r +3)=0.
Logo uma raiz é r=0, e as demais são as raízes do polinômio quartíco
r^4 + r^3 -2r +3=0.
Denotando essas quatro raízes por r_2,r_3,r_4,r_5 (geralmente complexas ou reais), a solução homogênea é
y_h(x) = C_1 + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + C_4 e^{r_4 x} + C_5 e^{r_5 x},
onde C_1,\dots,C_5 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para o termo e^x do lado direito, usamos ansatz y_{p2}=M e^x.
Substituindo em
L[y]=y^{(5)}+y^{(4)}-2y''+3y',
todas as derivadas de M e^x são M e^x. Logo
L[M e^x] = M e^x\bigl(1 +1 -2+3\bigr) = M e^x\cdot 3.
Para que isso seja igual a e^x, precisamos 3M=1, ou seja
M = \tfrac13.
Assim
y_{p2}(x)=\tfrac13\,e^x.

Passo 4

Para o termo x^2\sin(x), escolhemos ansatz
y_{p1}(x) = \bigl(Ax^2+Bx+C\bigr)\,\sin x \;+\;\bigl(Dx^2+Ex+F\bigr)\,\cos x,
com seis constantes A,B,C,D,E,F.
Ao aplicar o operador L em y_{p1}, toda derivada de \sin x e \cos x retorna combinação de \sin x e \cos x, e os polinômios também geram termos até x^2.
De fato, organizando
L[y_{p1}] = S(x)\,\sin x + T(x)\,\cos x,
onde S e T são polinômios de grau \le2. Exigimos
S(x)=x^2 \quad\text{e}\quad T(x)=0,
o que gera um sistema linear de 6 equações para A,B,C,D,E,F.

Passo 5

Fazendo as contas (derivando até a quinta vez e coletando coeficientes) chega-se ao sistema
\begin{cases} 3A - 4D = 1,\\\\ 16A +3B +16D -4E = 0,\\\\ -16A +8B +3C +20D +8E -4F = 0,\\\\ 4A +3D = 0,\\\\ 4B -8A +16D +3E = 0,\\\\ -20A -4B +4C -16D +8E +3F = 0. \end{cases}
Resolvendo-o, encontra-se
A = \tfrac{3}{25},\quad B = \tfrac{16}{25},\quad C = -\tfrac{208}{625},\quad D = -\tfrac{4}{25},\quad E = \tfrac{8}{25},\quad F = \tfrac{244}{625}.
Logo a parte particular para x^2\sin x é
y_{p1}(x) =\Bigl(\tfrac{3}{25}x^2+\tfrac{16}{25}x-\tfrac{208}{625}\Bigr)\sin x \;+\; \Bigl(-\tfrac{4}{25}x^2+\tfrac{8}{25}x+\tfrac{244}{625}\Bigr)\cos x.

Passo 6

Somando as partes, a solução geral da EDO é
\boxed{ y(x) = y_h(x) + y_{p1}(x)+y_{p2}(x) }
onde
y_h(x) = C_1 + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + C_4 e^{r_4 x} + C_5 e^{r_5 x},
y_{p1}(x) =\Bigl(\tfrac{3}{25}x^2+\tfrac{16}{25}x-\tfrac{208}{625}\Bigr)\sin x +\Bigl(-\tfrac{4}{25}x^2+\tfrac{8}{25}x+\tfrac{244}{625}\Bigr)\cos x,
y_{p2}(x)=\tfrac13\,e^x,
e r_2,r_3,r_4,r_5 são as raízes de r^4+r^3-2r+3=0.

Resposta

\boxed{ y(x) = C_1 + \sum_{k=2}^5 C_k e^{r_k x} \;+\; \Bigl(\tfrac{3}{25}x^2+\tfrac{16}{25}x-\tfrac{208}{625}\Bigr)\sin x +\Bigl(-\tfrac{4}{25}x^2+\tfrac{8}{25}x+\tfrac{244}{625}\Bigr)\cos x +\tfrac13\,e^x. }

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