Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(3)}+3 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+2 y=e^{x}+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de ordem superior
y^{(3)} + 3y'' - 4y' + 2y = e^{x} + x^{2}
para y(x). O conteúdo envolve:
  1. resolver a parte homogênea usando a equação característica de coeficientes constantes;
  2. encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y_h^{(3)} + 3y_h'' - 4y_h' + 2y_h = 0
e escrevemos a equação característica
r^3 + 3r^2 - 4r + 2 = 0.
Denotando suas raízes por r_1,r_2,r_3, a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não homogêneo é
e^{x} + x^2,
proponho
y_p(x) = A e^{x} + Bx^2 + Cx + D,
com A,B,C,D a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = A e^{x} + 2B x + C,
y_p'' = A e^{x} + 2B,
y_p^{(3)} = A e^{x}.
Substituindo em y^{(3)} + 3y'' -4y' +2y obtemos
\bigl(Ae^{x}\bigr) +3\bigl(Ae^{x}+2B\bigr) -4\bigl(Ae^{x}+2B x +C\bigr) +2\bigl(Ae^{x}+Bx^2+Cx+D\bigr).
Agrupando termos em e^x e em polinômio de x:
  • Coeficiente de e^{x}:
A + 3A - 4A + 2A = 2A \quad\Longrightarrow\quad 2A = 1 \;\Rightarrow\; A = \tfrac12.
  • Coeficiente de x^2:
2B = 1 \;\Rightarrow\; B = \tfrac12.
  • Coeficiente de x:
-8B + 2C = 0 \;\Longrightarrow\; -8\bigl(\tfrac12\bigr) + 2C = 0 \;\Rightarrow\; -4 + 2C = 0 \;\Rightarrow\; C = 2.
  • Termo constante:
6B - 4C + 2D = 0 \;\Longrightarrow\; 6\bigl(\tfrac12\bigr) - 4\cdot2 + 2D = 0 \;\Rightarrow\; 3 - 8 + 2D = 0 \;\Rightarrow\; 2D = 5 \;\Rightarrow\; D = \tfrac52.

Passo 5

A solução particular encontrada é
y_p(x) = \tfrac12 e^{x} + \tfrac12 x^2 + 2x + \tfrac52.
Logo a solução geral da equação é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + \tfrac12 e^{x} + \tfrac12 x^2 + 2x + \tfrac52.

Resposta

y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + \tfrac12 e^{x} + \tfrac12 x^2 + 2x + \tfrac52,
onde r_1,r_2,r_3 são as raízes da equação característica r^3+3r^2-4r+2=0.

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