Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(5)}+4 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}-3 y=x^{2} \sin (x)+e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de quinta ordem com coeficientes constantes
y^{(5)} + 4\,y'' + 6\,y' - 3\,y \;=\; x^{2}\sin(x)\;+\;e^{2x}.
O que vamos precisar:
  1. Encontrar a solução geral da homogênea associada, usando o polinômio característico.
  2. Usar o método dos coeficientes a determinar para obter uma particular de e^{2x}.
  3. Usar o método dos coeficientes a determinar para obter uma particular de x^{2}\sin(x).
  4. Somar tudo para ter a solução geral.

Passo 2

A parte homogênea é
y^{(5)} + 4\,y'' + 6\,y' - 3\,y = 0.
Escrevendo D = \frac{d}{dx}, o polinômio característico é
r^{5} + 4\,r^{2} + 6\,r - 3 = 0.
Denotemos suas raízes por r_{1},r_{2},r_{3},r_{4},r_{5}. Então a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = C_{1}e^{r_{1}x} + C_{2}e^{r_{2}x} + C_{3}e^{r_{3}x} + C_{4}e^{r_{4}x} + C_{5}e^{r_{5}x},
com constantes arbitrárias C_{1},\dots,C_{5}.

Passo 3

Para a parte e^{2x}, como r=2 não é raiz do característico, procuro
y_{p2}(x) = A\,e^{2x}.
Substituindo em L[y]=y^{(5)}+4y''+6y'-3y, vem
L[Ae^{2x}] = A\bigl(2^{5} +4\cdot2^{2} +6\cdot2 -3\bigr)e^{2x} = A\,(32+16+12-3)\,e^{2x} =57A\,e^{2x}.
Queremos 57A\,e^{2x}=e^{2x}, logo
A = \frac1{57} \quad\Longrightarrow\quad y_{p2}(x) = \frac{1}{57}\,e^{2x}.

Passo 4

Para a parte x^{2}\sin(x), uso ansatz
y_{p1}(x) = \bigl(a x^{2} + b x + c\bigr)\,\sin(x) + \bigl(d x^{2} + e x + f\bigr)\,\cos(x),
pois x^{2}\sin(x) é polinômio de grau 2 vezes \sin(x) e \pm i não são raízes do característico (logo não multiplico por x).
  1. Calculo y_{p1}^{(k)} para k=1,\dots,5.
  2. Substituo em L[y_{p1}]=y_{p1}^{(5)}+4y_{p1}''+6y_{p1}'-3y_{p1}.
  3. Agrupo termos em \sin(x) e \cos(x), igualo ao termo x^{2}\sin(x) (o coeficiente de \cos(x) deve dar zero, e o de \sin(x) deve dar x^2).
  4. Isso gera um sistema linear de 6 equações nas incógnitas a,b,c,d,e,f.
  5. Resolve-se o sistema e encontra-se os valores de a,b,c,d,e,f.

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com as duas particulares:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p1}(x) + y_{p2}(x).
Isto é
y(x) = \sum_{k=1}^{5} C_{k}\,e^{r_{k}x} + \bigl(a x^{2} + b x + c\bigr)\sin(x) + \bigl(d x^{2} + e x + f\bigr)\cos(x) + \frac{1}{57}\,e^{2x},
onde r_{1},\dots,r_{5} são as raízes de r^{5}+4r^{2}+6r-3=0 e os coeficientes a,b,c,d,e,f vêm da solução do sistema gerado no Passo 4.

Resposta

y(x) = C_{1}e^{r_{1}x} + C_{2}e^{r_{2}x} + C_{3}e^{r_{3}x} + C_{4}e^{r_{4}x} + C_{5}e^{r_{5}x} + \bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)\sin(x) + \bigl(d x^{2}+e x+f\bigr)\cos(x) + \frac{1}{57}e^{2x},
com r_{1},\dots,r_{5} raízes de
r^{5}+4r^{2}+6r-3=0
e a,b,c,d,e,f obtidos pelo sistema do método dos coeficientes a determinar para ajustar o termo x^{2}\sin(x).

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