Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de quinta ordem com coeficientes constantes
O que vamos precisar:
- Encontrar a solução geral da homogênea associada, usando o polinômio característico.
- Usar o método dos coeficientes a determinar para obter uma particular de
. - Usar o método dos coeficientes a determinar para obter uma particular de
. - Somar tudo para ter a solução geral.
Passo 2
A parte homogênea é
Escrevendo
, o polinômio característico é
Denotemos suas raízes por
. Então a solução geral da homogênea é
com constantes arbitrárias
.
Passo 3
Para a parte
, como
não é raiz do característico, procuro
Substituindo em
, vem
Queremos
, logo
Passo 4
Para a parte
, uso ansatz
pois
é polinômio de grau 2 vezes
e
não são raízes do característico (logo não multiplico por
).
- Calculo
para . - Substituo em
. - Agrupo termos em
e , igualo ao termo (o coeficiente de deve dar zero, e o de deve dar ). - Isso gera um sistema linear de 6 equações nas incógnitas
. - Resolve-se o sistema e encontra-se os valores de
.
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com as duas particulares:
Isto é
onde
são as raízes de
e os coeficientes
vêm da solução do sistema gerado no Passo 4.
Resposta
com
raízes de
e
obtidos pelo sistema do método dos coeficientes a determinar para ajustar o termo
.