Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(3)}+4 y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y^{(3)}+4y''-6y'+9y=0
e pede a solução geral y(x).

Passo 2

Procuramos soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo na EDO obtemos a equação característica
r^3+4r^2-6r+9=0.

Passo 3

Testando raízes racionais \pm1,\pm3,\pm9, nenhuma anula o polinômio. Usando a fórmula de Cardano ou métodos numéricos, encontramos uma raiz real
r_1\approx -5,415.
Fazendo divisão sintética por r-r_1, o quociente é o polinômio quadrático
r^2 - 1,415\,r + 1,663 = 0,
cujas raízes são complexas conjugadas
r_{2,3}=\frac{1,415}{2}\pm i\,\frac{\sqrt{1,415^2-4\cdot1{,}663}}{2} \approx 0,7075 \pm i\,1,078.

Passo 4

As soluções fundamentais são
e^{r_1 x},\quad e^{\alpha x}\cos(\beta x),\quad e^{\alpha x}\sin(\beta x),
onde \alpha=0,7075 e \beta=1,078. Portanto, a solução geral é
y(x)=C_1e^{-5,415\,x}+e^{0,7075\,x}\bigl(C_2\cos(1,078\,x)+C_3\sin(1,078\,x)\bigr).

Resposta

y(x)=C_1e^{-5,415\,x}+e^{0,7075\,x}\bigl(C_2\cos(1,078\,x)+C_3\sin(1,078\,x)\bigr).

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