Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(4)}-5 y^{(3)}+6 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear homogênea de coeficientes constantes
y^{(4)} - 5\,y^{(3)} + 6\,y'' + 4\,y' - 3\,y = 0.
O método é sempre o mesmo: montamos a equação característica
r^{4} - 5r^{3} + 6r^{2} + 4r - 3 = 0
e buscamos suas raízes r_i. A solução geral será
y(x) = \sum_{i=1}^{4} C_i e^{r_i x},
eventualmente escrevendo em termos de senos e cossenos para raízes complexas.

Passo 2

Vamos investigar raízes reais possíveis pelo Teorema do Valor Intermediário. Definindo
f(r)=r^{4}-5r^{3}+6r^{2}+4r-3,
vemos
f(-1)=1+5+6-4-3=5>0,\quad f(0)=-3<0,
logo existe uma raiz em (-1,0). Também
f(0)=-3<0,\quad f(1)=1-5+6+4-3=3>0,
há outra em (0,1). Fazendo uma busca numérica por bisseção (ou Newton) achamos aproximadas
r_{1}\approx -0.7627, \quad r_{2}\approx 0.5106.

Passo 3

Sabendo que as quatro raízes somam 5 (coeficiente de r^3 com sinal trocado) e cujo produto é -3, as duas restantes r_3,r_4 satisfazem
r_{3}+r_{4}=5 - (r_1+r_2)\approx 5 -(-0.2521)=5.2521, \qquad r_{3}r_{4}=\frac{-3}{r_1r_2}\approx \frac{-3}{(-0.7627)(0.5106)}\approx 7.697.
Então r_3,r_4 vêm da fórmula quadrática em
r^{2} - (r_{3}+r_{4})\,r + r_{3}r_{4}=0 \;\Longrightarrow\; r^{2}-5.2521\,r+7.697=0
cuja discriminante é negativa, gerando par complexo conjugado
r_{3,4}\approx 2.6261 \pm 0.8952\,i.

Passo 4

Como r_3,r_4 são complexos conjugados, escrevemos sua contribuição em termos de exponencial real vezes cosseno e seno. Assim a solução geral é
y(x)=C_{1}\,e^{-0.7627\,x} +C_{2}\,e^{0.5106\,x} +e^{2.6261\,x}\Bigl(C_{3}\cos(0.8952\,x)+C_{4}\sin(0.8952\,x)\Bigr),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}\,e^{-0.7627\,x} +C_{2}\,e^{0.5106\,x} +e^{2.6261\,x}\Bigl(C_{3}\cos(0.8952\,x)+C_{4}\sin(0.8952\,x)\Bigr).

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