Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(3)}+5 y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+6 y=e^{x} \sin (x)+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y^{(3)} + 5y'' - 7y' + 6y \;=\; e^{x}\sin(x) \;+\; x^{2}
É uma EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a forma geral da solução
y(x) \;=\; y_{c}(x) \;+\; y_{p}(x)
onde y_{c} é a solução da homogênea (complementar) e y_{p} é uma particular, que será somada de duas partes: uma para e^{x}\sin x e outra para x^{2}.

Passo 2

A parte complementar y_{c} vem da equação característica
r^{3} + 5r^{2} -7r +6 = 0.
Sejam r_{1},r_{2},r_{3} as raízes (possivelmente complexas) dessa equação. Então
y_{c}(x) \;=\; C_{1}e^{r_{1}x} + C_{2}e^{r_{2}x} + C_{3}e^{r_{3}x}.

Passo 3

Para a parte polinomial x^{2}, assumimos
y_{p2}(x) = A x^{2} + B x + G.
Calculamos as derivadas:
y'_{p2}=2A x + B,\quad y''_{p2}=2A,\quad y^{(3)}_{p2}=0.
Substituindo em y^{(3)}+5y''-7y'+6y e igualando a x^{2} obtemos:
6A\,x^{2} +(-14A+6B)\,x + (10A -7B +6G) = x^{2}.
Isto gera o sistema
6A = 1,\quad -14A+6B = 0,\quad 10A-7B+6G = 0,
cuja solução é
A = \tfrac{1}{6},\quad B = \tfrac{7}{18},\quad G = \tfrac{19}{108}.
Logo
y_{p2}(x) = \frac{1}{6}x^{2} + \frac{7}{18}x + \frac{19}{108}.

Passo 4

Para a parte e^{x}\sin x, tomamos o palpite
y_{p1}(x)= e^{x}\bigl(C\cos x + D\sin x\bigr).
Ao aplicar o operador D^{3}+5D^{2}-7D+6 nota-se (após juntar termos) que
L\bigl[e^{x}(C\cos x +D\sin x)\bigr] = e^{x}\bigl[(5D-3I)(C\cos x +D\sin x)\bigr] = e^{x}\bigl[(5D-3I)u\bigr],
onde u=C\cos x+D\sin x. Calculando explicitamente e igualando a e^{x}\sin x obtemos o sistema
5D - 3C = 0, \quad -5C -3D = 1,
cuja solução é
C = -\frac{5}{34},\quad D = -\frac{3}{34}.
Portanto
y_{p1}(x) = e^{x}\Bigl(-\frac{5}{34}\cos x \;-\;\frac{3}{34}\sin x\Bigr) = -\frac{e^{x}}{34}\bigl(5\cos x +3\sin x\bigr).

Passo 5

A solução geral é
y(x) = y_{c}(x) \;+\; y_{p1}(x)\;+\; y_{p2}(x)
= C_{1}e^{r_{1}x} + C_{2}e^{r_{2}x} + C_{3}e^{r_{3}x} \;-\;\frac{e^{x}}{34}\bigl(5\cos x +3\sin x\bigr) \;+\;\frac{1}{6}x^{2} + \frac{7}{18}x + \frac{19}{108}.

Resposta

\boxed{ y(x) = C_{1}e^{r_{1}x} + C_{2}e^{r_{2}x} + C_{3}e^{r_{3}x} -\frac{e^{x}}{34}\bigl(5\cos x +3\sin x\bigr) +\frac{1}{6}x^{2} + \frac{7}{18}x + \frac{19}{108} }
onde r_{1},r_{2},r_{3} são as raízes da equação característica r^{3}+5r^{2}-7r+6=0.

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