Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(5)}-3 y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO linear homogênea de ordem 5 com coeficientes constantes
y^{(5)}-3\,y^{(4)}+2\,y''-y=0.
Para isso usamos o método do polinômio característico: assumimos solução da forma y=e^{r x} e substituímos na EDO.

Passo 2

Substituindo y=e^{r x}, cada derivada traz um fator r, e obtemos o polinômio característico
r^5-3r^4+2r^2-1=0.
Sejam r_1,r_2,r_3,r_4,r_5 as raízes desse polinômio. Pela teoria de EDOs de coeficientes constantes, a solução geral é combinação linear dos termos e^{r_i x}, agrupando-se os pares de raízes complexas conjugadas.

Passo 3

Dá-se o caso de existir uma raiz real r_1 e dois pares de raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta e \gamma\pm i\delta. Assim a forma final da solução é
y(x)=C_1\,e^{r_1 x} +e^{\alpha x}\bigl(C_2\cos(\beta x)+C_3\sin(\beta x)\bigr) +e^{\gamma x}\bigl(C_4\cos(\delta x)+C_5\sin(\delta x)\bigr),
onde C_1,\dots,C_5 são constantes arbitrárias e
r_1,\;\alpha\pm i\beta,\;\gamma\pm i\delta
são todas as raízes da equação r^5-3r^4+2r^2-1=0.

Resposta

y(x)=C_1\,e^{r_1 x} +e^{\alpha x}\bigl(C_2\cos(\beta x)+C_3\sin(\beta x)\bigr) +e^{\gamma x}\bigl(C_4\cos(\delta x)+C_5\sin(\delta x)\bigr),
com r_1,\alpha\pm i\beta,\gamma\pm i\delta raízes de \,r^5-3r^4+2r^2-1=0.

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