Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(3)}-4 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+5 y=x \sin (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y^{(3)} - 4y'' + 3y' + 5y = x\sin(x).
O método é: (1) encontrar a solução geral da homogênea usando a equação característica; (2) encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados; (3) somar as duas para obter a geral.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
y^{(3)} - 4y'' + 3y' + 5y = 0,
cuja equação característica é
r^3 - 4r^2 + 3r + 5 = 0.
Chamando r_1,r_2,r_3 as raízes dessa equação (que podem ser reais ou complexas), a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x},
com C_1,C_2,C_3 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p ao lado direito x\sin(x), usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 vezes \sin x e e^{ix} não é raiz da característica, supomos
y_p(x) = (A x + B)\,\sin(x) + (C x + D)\,\cos(x),
com A,B,C,D a determinar.

Passo 4

Calculamos y_p',y_p'',y_p''' e substituímos na equação
y^{(3)} -4y'' +3y' +5y = x\sin(x).
Agrupando os termos em \sin(x) e \cos(x) obtemos um sistema linear em A,B,C,D:
\begin{cases} 9A - 2C = 1,\\\\ 9B + 8C - 2D = 0,\\\\ 2A + 9C = 0,\\\\ 2B - 8A + 9D = 0. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema, encontra-se
A = \frac{9}{85},\quad B = \frac{288}{85^2},\quad C = -\frac{2}{85},\quad D = \frac{616}{85^2}.

Passo 6

Logo a solução particular é
y_p(x) = \Bigl(\tfrac{9}{85}\,x + \tfrac{288}{85^2}\Bigr)\sin(x) + \Bigl(-\tfrac{2}{85}\,x + \tfrac{616}{85^2}\Bigr)\cos(x),
e a solução geral da equação original é
\boxed{ y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + \Bigl(\tfrac{9}{85}\,x + \tfrac{288}{85^2}\Bigr)\sin(x) + \Bigl(-\tfrac{2}{85}\,x + \tfrac{616}{85^2}\Bigr)\cos(x), }
onde r_1,r_2,r_3 são as raízes de r^3-4r^2+3r+5=0 e C_1,C_2,C_3 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + \Bigl(\tfrac{9}{85}\,x + \tfrac{288}{85^2}\Bigr)\sin(x) + \Bigl(-\tfrac{2}{85}\,x + \tfrac{616}{85^2}\Bigr)\cos(x).

Exercícios relacionados