Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior y^{(3)}-4 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+5 y=x \sin (x)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y^{(3)} - 4y'' + 3y' + 5y = x\sin(x).
O método é: (1) encontrar a solução geral da homogênea usando a equação característica; (2) encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados; (3) somar as duas para obter a geral.
Passo 2
A parte homogênea satisfaz
y^{(3)} - 4y'' + 3y' + 5y = 0,
cuja equação característica é
r^3 - 4r^2 + 3r + 5 = 0.
Chamando r_1,r_2,r_3 as raízes dessa equação (que podem ser reais ou complexas), a solução geral homogênea é
Para achar uma solução particular y_p ao lado direito x\sin(x), usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 vezes \sin x e e^{ix} não é raiz da característica, supomos
y_p(x) = (A x + B)\,\sin(x) + (C x + D)\,\cos(x),
com A,B,C,D a determinar.
Passo 4
Calculamos y_p',y_p'',y_p''' e substituímos na equação
y^{(3)} -4y'' +3y' +5y = x\sin(x).
Agrupando os termos em \sin(x) e \cos(x) obtemos um sistema linear em A,B,C,D: