Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(5)}+y^{(4)}-2 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=x^{3}+\sin (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de ordem 5 com coeficientes constantes
y^{(5)} + y^{(4)} -2\,y'' +3\,y' = x^3 + \sin(x).
O método será: (i) achar a solução geral da homogênea via equação característica; (ii) achar uma solução particular por coeficientes indeterminados; (iii) somar as duas para obter a solução geral.

Passo 2

Escrevemos a equação característica da parte homogênea y^{(5)}+y^{(4)}-2y''+3y'=0:
r^5 + r^4 -2r^2 +3r = 0 \;\Longrightarrow\; r\,(r^4 + r^3 -2r +3)=0.
Logo r=0 é uma raiz simples e as outras quatro raízes r_2,r_3,r_4,r_5 são as soluções de
r^4 + r^3 -2r +3 = 0.
A solução geral homogênea é então
y_h(x) = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + C_4 e^{r_4 x} + C_5 e^{r_5 x} = C_1 + \sum_{k=2}^5 C_k e^{r_k x}.

Passo 3

Para a parte não homogênea x^3 + \sin(x) usamos coeficientes indeterminados. Como há a raiz r=0 (multiplicidade 1), multiplicamos o polinômio de grau 3 por x. E como \pm i não são raízes, para \sin x usamos E\cos x + F\sin x. Logo o palpite é
y_p(x) = A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x \quad+\quad E\cos x + F\sin x.

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias de y_p, separando parte polinomial e parte trigonométrica:
Parte polinomial P(x)=A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x:
P' = 4A x^3 +3B x^2 +2C x + D, \quad P''=12A x^2 +6B x +2C,
P^{(4)} = 24A, \quad P^{(5)} = 0.
Parte trigonométrica T(x)=E\cos x + F\sin x:
T' = -E\sin x + F\cos x, \quad T'' = -E\cos x - F\sin x,
T^{(4)} = E\cos x + F\sin x, \quad T^{(5)} = -E\sin x + F\cos x.

Passo 5

Substituímos y_p^{(5)}+y_p^{(4)}-2y_p''+3y_p' e agrupamos termos:
  1. Da parte polinomial:
0 + 24A -2(12A x^2 +6B x +2C) +3(4A x^3 +3B x^2 +2C x + D)
=12A x^3 +(-24A+9B)x^2+(-12B+6C)x+(24A-4C+3D).
Isto deve igualar x^3, logo
12A = 1,\; -24A+9B=0,\; -12B+6C=0,\; 24A-4C+3D=0.
  1. Da parte trigonométrica:
\bigl(-E\sin x + F\cos x\bigr) +\bigl(E\cos x + F\sin x\bigr) -2\bigl(-E\cos x - F\sin x\bigr) +3\bigl(-E\sin x + F\cos x\bigr)
=(3E+4F)\cos x +(-4E+3F)\sin x,
que deve igualar \sin x, ou seja
3E+4F=0, \quad -4E+3F=1.

Passo 6

Resolvendo cada sistema:
Do polinômio:
A=\tfrac1{12},\; -24\!\cdot\tfrac1{12}+9B=0\implies B=\tfrac{2}{9},\; -12\!\cdot\tfrac{2}{9}+6C=0\implies C=\tfrac{4}{9},
24\!\cdot\tfrac1{12}-4\!\cdot\tfrac{4}{9}+3D=0 \implies 2-\tfrac{16}{9}+3D=0\implies D=-\tfrac{2}{27}.
Da trigonometria:
E=-\tfrac{4}{3}F, \quad -4\bigl(-\tfrac{4}{3}F\bigr)+3F=1\implies \tfrac{16}{3}F+3F=1\implies F=\tfrac{3}{25},
E=-\tfrac{4}{3}\cdot\tfrac{3}{25}=-\tfrac{4}{25}.
Portanto
y_p(x)=\tfrac1{12}x^4+\tfrac{2}{9}x^3+\tfrac{4}{9}x^2-\tfrac{2}{27}x \;+\; \bigl(-\tfrac{4}{25}\bigr)\cos x \;+\; \tfrac{3}{25}\sin x.

Resposta

A solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + \sum_{k=2}^5 C_k e^{r_k x} \;+\; \tfrac1{12}x^4+\tfrac{2}{9}x^3+\tfrac{4}{9}x^2-\tfrac{2}{27}x -\tfrac{4}{25}\cos x + \tfrac{3}{25}\sin x,
onde r_2,r_3,r_4,r_5 são as raízes de r^4+r^3-2r+3=0.

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