Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(4)}+y^{(3)}-2 y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

Temos a EDO linear homogênea de coeficientes constantes
y^{(4)} + y^{(3)} - 2\,y' + 4\,y = 0.
O método padrão é assumir uma solução da forma y=e^{r x} e derivar a equação característica.

Passo 2

Assumindo y=e^{r x}, temos
y'=r e^{r x},\quad y''=r^2 e^{r x},\quad y^{(3)}=r^3 e^{r x},\quad y^{(4)}=r^4 e^{r x}.
Substituindo na EDO e dividindo por e^{r x}\neq0 vem a característica
r^4 + r^3 - 2r + 4 = 0.

Passo 3

Sejam r_1,r_2,r_3,r_4 as quatro raízes (em geral complexas) da equação
r^4 + r^3 - 2r + 4 = 0.
A solução geral da EDO é então
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + C_4 e^{r_4 x},
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + C_4 e^{r_4 x},
com r_1,r_2,r_3,r_4 sendo as raízes da equação característica
r^4 + r^3 - 2r + 4 = 0.

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