Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(4)}+y^{(3)}-2 y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de ordem superior com coeficientes constantes
y^{(4)} + y^{(3)} - 2y' + 4y = 0.
O método é formar o polinômio característico, encontrar suas raízes e montar a solução geral a partir de e^{r x} (ou, no caso de raízes complexas conjugadas, de termos com cosseno e seno).

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico trocando cada derivada de ordem n por r^n:
r^4 + r^3 - 2r + 4 = 0.
Para fatorar em dois quadráticos reais, supomos
r^4 + r^3 - 2r + 4 = (r^2 + a r + b)\,(r^2 + c r + d).
Ao expandir e comparar coeficientes, obtemos o sistema
\begin{cases} a + c = 1,\\\ ac + b + d = 0,\\\ ad + bc = -2,\\\ bd = 4. \end{cases}

Passo 3

Das possíveis fatorações inteiras de bd=4, a única que leva a a,c reais é b=d=2. Substituindo em ac + b + d = 0
ac + 4 = 0\quad\Longrightarrow\quad ac = -4,
e em a + c = 1 leva ao quadrático
a(1 - a) = -4 \quad\Longrightarrow\quad a^2 - a - 4 = 0
cuja solução é
a = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \quad c = 1 - a = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}.
Logo
r^4 + r^3 - 2r + 4 = \bigl(r^2 + \tfrac{1 + \sqrt{17}}{2}\,r + 2\bigr)\, \bigl(r^2 + \tfrac{1 - \sqrt{17}}{2}\,r + 2\bigr).

Passo 4

Agora resolvemos cada quadrática:
  1. r^2 + \tfrac{1 + \sqrt{17}}{2}\,r + 2 = 0.
    As raízes são
r_{1,2} = -\frac{1 + \sqrt{17}}{4} \pm \frac{1}{2}\,\sqrt{\;2\cdot 2 - \Bigl(\tfrac{1 + \sqrt{17}}{2}\Bigr)^{2}\;} = -\frac{1 + \sqrt{17}}{4} \pm i\,\frac{\sqrt{\,7 - \sqrt{17}\,}}{2\sqrt{2}}.
  1. r^2 + \tfrac{1 - \sqrt{17}}{2}\,r + 2 = 0.
    As raízes são
r_{3,4} = -\frac{1 - \sqrt{17}}{4} \pm i\,\frac{\sqrt{\,7 + \sqrt{17}\,}}{2\sqrt{2}}.

Passo 5

Como todas as raízes vêm em conjugados complexos, escrevemos a solução geral em termos de exponenciais reais com cosseno e seno. Definindo
\alpha_{1} = -\frac{1 + \sqrt{17}}{4}, \quad \omega_{1} = \frac{\sqrt{\,7 - \sqrt{17}\,}}{2\sqrt{2}},
\alpha_{2} = -\frac{1 - \sqrt{17}}{4}, \quad \omega_{2} = \frac{\sqrt{\,7 + \sqrt{17}\,}}{2\sqrt{2}},
a solução geral é
y(x) = e^{\alpha_{1} x} \bigl(C_{1}\cos(\omega_{1} x) + C_{2}\sin(\omega_{1} x)\bigr) + e^{\alpha_{2} x} \bigl(C_{3}\cos(\omega_{2} x) + C_{4}\sin(\omega_{2} x)\bigr),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = e^{-\tfrac{1 + \sqrt{17}}{4}x} \bigl(C_{1}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{\,7 - \sqrt17\,}}{2\sqrt2}x\bigr) + C_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{\,7 - \sqrt17\,}}{2\sqrt2}x\bigr)\bigr) + e^{-\tfrac{1 - \sqrt{17}}{4}x} \bigl(C_{3}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{\,7 + \sqrt17\,}}{2\sqrt2}x\bigr) + C_{4}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{\,7 + \sqrt17\,}}{2\sqrt2}x\bigr)\bigr).

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