Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior y^{(4)}+y^{(3)}-2 y^{\prime}+4 y=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de ordem superior com coeficientes constantes
y^{(4)} + y^{(3)} - 2y' + 4y = 0.
O método é formar o polinômio característico, encontrar suas raízes e montar a solução geral a partir de e^{r x} (ou, no caso de raízes complexas conjugadas, de termos com cosseno e seno).
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico trocando cada derivada de ordem n por r^n:
r^4 + r^3 - 2r + 4 = 0.
Para fatorar em dois quadráticos reais, supomos
r^4 + r^3 - 2r + 4 = (r^2 + a r + b)\,(r^2 + c r + d).
Ao expandir e comparar coeficientes, obtemos o sistema
\begin{cases} a + c = 1,\\\ ac + b + d = 0,\\\ ad + bc = -2,\\\ bd = 4. \end{cases}
Passo 3
Das possíveis fatorações inteiras de bd=4, a única que leva a a,c reais é b=d=2. Substituindo em ac + b + d = 0 dá
ac + 4 = 0\quad\Longrightarrow\quad ac = -4,
e em a + c = 1 leva ao quadrático
a(1 - a) = -4 \quad\Longrightarrow\quad a^2 - a - 4 = 0
cuja solução é
a = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \quad c = 1 - a = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}.