Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial homogênea:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais homogêneas, que podem ser simplificadas usando uma substituição. Vamos precisar usar a substituição
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Essas funções fazem parte da forma padrão da equação diferencial:
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Por isso, usamos a substituição
.
Passo 4
Definindo
, podemos escrever
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Substituindo isso na equação original.
Passo 5
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Simplificando ainda mais:
Dividindo todos os termos por
:
Passo 7
Distribuindo os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 8
Reorganizando a equação:
Fatorando o lado direito:
Dividindo ambos os lados por
:
Ou seja:
Passo 9
Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Passo 10
As integrais se resolvem da seguinte forma:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Multiplicando ambos os lados por 2:
Podemos reescrever
.
Passo 12
Usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma constante.
Passo 13
Lembrando que
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real.