Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
(b) (x^2 - x*y) dx + (y^2 - x*y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial homogênea:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais homogêneas, que podem ser simplificadas usando uma substituição. Vamos precisar usar a substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:
Essas funções fazem parte da forma padrão da equação diferencial: .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Por isso, usamos a substituição .

Passo 4

Definindo , podemos escrever . Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo isso na equação original.

Passo 5

Substituindo e na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Simplificando ainda mais:
Dividindo todos os termos por :

Passo 7

Distribuindo os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 8

Reorganizando a equação:
Fatorando o lado direito:
Dividindo ambos os lados por :
Ou seja:

Passo 9

Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados:

Passo 10

As integrais se resolvem da seguinte forma:
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por 2:
Podemos reescrever .

Passo 12

Usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados:
Onde é uma constante.

Passo 13

Lembrando que :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real.

Exercícios relacionados