Resolver as equações de Bernoulli:
b y' - 4y = y^3

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial de Bernoulli: . A matéria aqui é equações diferenciais, especificamente as equações de Bernoulli. Vamos precisar transformar essa equação em uma forma mais simples para resolver, usando uma substituição que facilita o processo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro o que a gente tem:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 3

As equações de Bernoulli têm a forma geral:
Comparando com a nossa equação:

Passo 4

Para resolver uma equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Vamos definir:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Então, podemos expressar em termos de e :

Passo 6

Substituindo na equação original:
Vamos simplificar dividindo ambos os lados por :
Lembrando que , então :
Multiplicando toda a equação por -2 para simplificar:

Passo 7

Agora temos uma equação linear em :
Para resolver isso, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora é a derivada de :

Passo 9

Integrando ambos os lados em relação a :
Calculando a integral:
Então:

Passo 10

Dividindo toda a equação por :
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 11

Resolvendo para :
Podemos reescrever isso como:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

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