Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
y' - 3y = sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução geral para equações lineares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está na forma padrão:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante . Ele é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Com o fator integrante calculado, multiplicamos toda a equação original por :
Isso simplifica a equação para:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos calcular a integral . Para isso, usamos a fórmula da integral de :
No nosso caso, e :

Passo 7

Voltando à nossa equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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