Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
y' + 2y = e^x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial linear de primeira ordem: . Vamos usar o método do fator integrante, que é um jeito de simplificar esse tipo de equação para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. Aqui, e . O método do fator integrante usa a fórmula .

Passo 3

Calculamos o fator integrante:
Esse fator vai ajudar a transformar a equação numa forma mais fácil de integrar.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Percebemos que o lado esquerdo é a derivada do produto . Ou seja:
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando:
O lado esquerdo simplifica para , e o lado direito integra para , onde é a constante de integração.

Passo 7

Então, temos:
Para isolar , dividimos tudo por :

Resposta

A solução geral da equação é:

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