Resolver as seguintes Equações Diferenciais não exatas por fator:
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não exata usando um fator integrante. O que isso significa? Bem, estamos lidando com uma equação que não está “pronta” para integrar diretamente, mas com um truque, podemos torná-la exata e resolver. Vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e fator integrante para transformar essa equação e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão:
Aqui, temos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como 
 , a equação não é exata.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um fator integrante, que geralmente depende de 
  ou 
 , para multiplicar a equação e torná-la exata. Vamos tentar um fator que depende apenas de 
 , ou seja, 
 .
Passo 5
Multiplicamos a equação original por 
 :
Agora, queremos que a nova equação seja exata, então:
Passo 6
Calculando as derivadas:
Passo 7
Igualando as duas expressões:
Simplificando e dividindo por 
  (assumindo 
 ):
Passo 8
Para que a igualdade seja válida para todos os 
 , os coeficientes de 
  e 
  devem ser iguais:
Para :
Para
Para 
 :
Da equação de 
 :
Passo 9
Essa é uma equação diferencial simples para 
 . Podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher 
  para simplificar, então:
Passo 10
Agora, multiplicamos a equação original por 
 :
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 11
Encontramos uma função 
  tal que:
Integrando em relação a 
 :
Agora, derivamos 
  em relação a 
  e igualamos a 
 :
Então:
No entanto, como 
  só depende de 
 , o termo com 
  deve ser zero, indicando que houve um erro na integração. Portanto, ajustamos nossa função 
 :
Observando que a parte que depende de 
  é 
 , integramos essa parte:
Passo 12
Então, a solução implícita é:
Podemos escrever de forma simplificada:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde 
  é uma constante arbitrária.