Resolver as seguintes equações diferenciais não homogêneas usando o método dos coeficientes a determinar y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+20 y=100 x^{2}-26 e^{x}
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial não homogênea
y'' - 8y' + 20y = 100x^{2} - 26 e^{x}.
Informações dadas e perguntas claras:
A equação é de segunda ordem e linear com coeficientes constantes.
O termo não homogêneo é a soma de dois termos: um polinômio 100x^{2} e um exponencial -26 e^{x}.
O enunciado exige usar o método dos coeficientes a determinar (ou método das tentativas) para encontrar uma solução particular.
A tarefa final é fornecer a solução geral, que combina a solução da equação associada homogênea e uma solução particular apropriada.
Passo 2
Vamos primeiro resolver a equação associada homogênea (ou seja, zerando o lado direito). Para isso usamos a técnica de substituir uma solução do tipo exponencial. A equação homogênea é
y'' - 8y' + 20y = 0.
Procuramos soluções da forma \,y=e^{rx}\,. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2} - 8r + 20 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
Agora precisamos encontrar uma solução particular y_{p} da equação completa. Pelo método dos coeficientes a determinar:
Para o termo polinomial 100x^{2} tentamos um polinômio de mesmo grau: \,Ax^{2}+Bx+C.
Para o termo exponencial -26 e^{x} tentamos uma função da forma D e^{x}.
Antes de fixar a forma precisamos verificar se as tentativas entram em conflito com a solução homogênea (isto é, se e^{0x} ou e^{1x} correspondem a raízes da equação característica). As raízes da característica foram 4\pm 2i, portanto nem r=0 nem r=1 são raízes. Logo não precisamos multiplicar por potências de x. Assim a tentativa válida é
y_{p}(x) = Ax^{2} + Bx + C + D e^{x},
com A,B,C,D constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de y_{p} (separando as partes polinomial e exponencial):
Para a parte polinomial Ax^{2}+Bx+C:
y_{p1}' = 2Ax + B,\qquad y_{p1}'' = 2A.
Para a parte exponencial D e^{x}:
y_{p2}' = D e^{x},\qquad y_{p2}'' = D e^{x}.
Somando:
y_{p}' = 2Ax + B + D e^{x},\qquad y_{p}'' = 2A + D e^{x}.
Passo 5
Substituímos y_{p}\), \(y_{p}'\) e \(y_{p}''\) na equação diferencial
\[y'' - 8y' + 20y = 100x^{2} - 26 e^{x}.
Fazendo a substituição:
(2A + D e^{x}) - 8(2Ax + B + D e^{x}) + 20(Ax^{2} + Bx + C + D e^{x}) = 100x^{2} - 26 e^{x}.
Agora separamos termos polinomiais (em x^{2},x,1) e termos multiplicados por e^{x}.
Primeiro os termos polinomiais:
Coeficiente de x^{2}: 20A.
Coeficiente de x: -16A + 20B (pois vem de -8\cdot 2Ax e +20Bx).