Resolver as seguintes equações diferenciais não homogêneas usando o método dos coeficientes a determinar
y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+20 y=100 x^{2}-26 e^{x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial não homogênea
y'' - 8y' + 20y = 100x^{2} - 26 e^{x}.
Informações dadas e perguntas claras:
  • A equação é de segunda ordem e linear com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo é a soma de dois termos: um polinômio 100x^{2} e um exponencial -26 e^{x}.
  • O enunciado exige usar o método dos coeficientes a determinar (ou método das tentativas) para encontrar uma solução particular.
  • A tarefa final é fornecer a solução geral, que combina a solução da equação associada homogênea e uma solução particular apropriada.

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação associada homogênea (ou seja, zerando o lado direito). Para isso usamos a técnica de substituir uma solução do tipo exponencial. A equação homogênea é
y'' - 8y' + 20y = 0.
Procuramos soluções da forma \,y=e^{rx}\,. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2} - 8r + 20 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
\Delta = (-8)^{2} - 4\cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{8 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{8 \pm 4i}{2} = 4 \pm 2i.
Quando as raízes são \,4\pm 2i\,, a forma geral da solução da homogênea é
y_{h}(x) = e^{4x}\big(C_{1}\cos(2x) + C_{2}\sin(2x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos encontrar uma solução particular y_{p} da equação completa. Pelo método dos coeficientes a determinar:
  • Para o termo polinomial 100x^{2} tentamos um polinômio de mesmo grau: \,Ax^{2}+Bx+C.
  • Para o termo exponencial -26 e^{x} tentamos uma função da forma D e^{x}.
    Antes de fixar a forma precisamos verificar se as tentativas entram em conflito com a solução homogênea (isto é, se e^{0x} ou e^{1x} correspondem a raízes da equação característica). As raízes da característica foram 4\pm 2i, portanto nem r=0 nem r=1 são raízes. Logo não precisamos multiplicar por potências de x. Assim a tentativa válida é
y_{p}(x) = Ax^{2} + Bx + C + D e^{x},
com A,B,C,D constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p} (separando as partes polinomial e exponencial):
Para a parte polinomial Ax^{2}+Bx+C:
y_{p1}' = 2Ax + B,\qquad y_{p1}'' = 2A.
Para a parte exponencial D e^{x}:
y_{p2}' = D e^{x},\qquad y_{p2}'' = D e^{x}.
Somando:
y_{p}' = 2Ax + B + D e^{x},\qquad y_{p}'' = 2A + D e^{x}.

Passo 5

Substituímos y_{p}\), \(y_{p}'\) e \(y_{p}''\) na equação diferencial \[y'' - 8y' + 20y = 100x^{2} - 26 e^{x}.
Fazendo a substituição:
(2A + D e^{x}) - 8(2Ax + B + D e^{x}) + 20(Ax^{2} + Bx + C + D e^{x}) = 100x^{2} - 26 e^{x}.
Agora separamos termos polinomiais (em x^{2},x,1) e termos multiplicados por e^{x}.
Primeiro os termos polinomiais:
  • Coeficiente de x^{2}: 20A.
  • Coeficiente de x: -16A + 20B (pois vem de -8\cdot 2Ax e +20Bx).
  • Termo constante: 2A - 8B + 20C.
Portanto a parte polinomial do lado esquerdo é
20A \, x^{2} + (-16A + 20B)\, x + (2A - 8B + 20C).
Essa parte deve corresponder a 100x^{2} + 0\cdot x + 0 (pois no lado direito o polinômio é apenas 100x^{2}). Assim obtemos o sistema:
\begin{cases} 20A = 100,\\[4pt] -16A + 20B = 0,\\[4pt] 2A - 8B + 20C = 0. \end{cases}
Agora a parte exponencial (coeficiente de e^{x}\]): Do lado esquerdo os termos em \(e^{x} somam
D - 8D + 20D = 13D,
portanto 13D deve igualar o coeficiente do e^{x} no lado direito, que é -26. Assim
13D = -26.]

Passo 6

Resolvemos o sistema polinomial para A,B,C.
Da primeira equação:
20A = 100 \quad\Rightarrow\quad A = \frac{100}{20} = 5.
Usando A=5 na segunda:
-16\cdot 5 + 20B = 0 \quad\Rightarrow\quad -80 + 20B = 0 \quad\Rightarrow\quad 20B = 80 \quad\Rightarrow\quad B = 4.
Usando A=5 e B=4 na terceira:
2\cdot 5 - 8\cdot 4 + 20C = 0 \quad\Rightarrow\quad 10 - 32 + 20C = 0 \quad\Rightarrow\quad -22 + 20C = 0,
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20C = 22 \quad\Rightarrow\quad C = \frac{22}{20} = \frac{11}{10}.

Passo 7

Resolvemos para D a equação obtida da parte exponencial:
13D = -26 \quad\Rightarrow\quad D = \frac{-26}{13} = -2.

Passo 8

Agora já temos todos os coeficientes da solução particular:
A = 5,\quad B = 4,\quad C = \frac{11}{10},\quad D = -2.
Então a solução particular é
y_{p}(x) = 5x^{2} + 4x + \frac{11}{10} - 2e^{x}.
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea e de uma particular:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = e^{4x}\big(C_{1}\cos(2x) + C_{2}\sin(2x)\big) + 5x^{2} + 4x + \frac{11}{10} - 2e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Resposta

y(x)=e^{4x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big)+5x^{2}+4x+\frac{11}{10}-2e^{x}.

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