Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais homogêneas de ordem superior
y^{(5)}+5 y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}-10 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar a solução geral da equação (homogênea) de ordem 5 abaixo:
y^{(5)}+5y^{(4)}-2y^{\prime\prime\prime}-10y^{\prime\prime}+y^{\prime}+5y=0.
Informações dadas e que vamos usar:
\; - A equação é linear e homogênea com coeficientes constantes.
\; - A ordem é 5 (tem derivada de quinta ordem).
\; - Os coeficientes constantes são 1,5,-2,-10,1,5 associados às derivadas de ordens 5,4,3,2,1,0 respectivamente.
\; - O objetivo é obter a família de soluções (solução geral) com constantes arbitrárias.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (aula rápida e sem pular etapas): vamos procurar soluções da forma básica y(x)=e^{rx}, com r um número complexo a determinar. Por que essa forma? Porque derivadas de e^{rx} são proporcionais a e^{rx} (por exemplo \frac{d}{dx}e^{rx}=r e^{rx}), então ao substituir numa equação linear com coeficientes constantes obtemos um fator comum e^{rx} que pode ser dividido, sobrando uma equação polinomial em r. Esse polinômio chama-se polinômio característico. Se r é raiz do polinômio característico, então e^{rx} é solução. Se houver raízes repetidas, cada multiplicidade gera soluções com fatores polinomiais em x (vou explicar isto com calma quando for necessário).

Passo 3

Formação do polinômio característico: supondo y=e^{rx}, então
\; y^{(k)}=r^k e^{rx}. Substituindo na equação dada e dividindo por e^{rx} (que nunca é zero), obtemos o polinômio característico
r^{5}+5r^{4}-2r^{3}-10r^{2}+r+5=0.
Nosso trabalho agora é fatorar esse polinômio e encontrar suas raízes e multiplicidades.

Passo 4

Procura por raízes racionais simples (teste de raízes possíveis \pm1,\pm5 pelo teorema das raízes racionais). Testo r=1:
1^{5}+5\cdot1^{4}-2\cdot1^{3}-10\cdot1^{2}+1+5 = 1+5-2-10+1+5 = 0.
Logo r=1 é uma raiz. Então (r-1) é um fator do polinômio. Vamos dividir o polinômio por (r-1). Faço a divisão sintetica passo a passo com coeficientes 1,5,-2,-10,1,5:
  • Trago 1.
  • Multiplico por 1: 1. Somo a 5 6.
  • Multiplico 6 por 1: 6. Somo a -2 4.
  • Multiplico 4 por 1: 4. Somo a -10 -6.
  • Multiplico -6 por 1: -6. Somo a 1 -5.
  • Multiplico -5 por 1: -5. Somo a 5 0 (resto zero, ok).
O quociente é o polinômio de grau 4 com coeficientes 1,6,4,-6,-5, isto é
r^{4}+6r^{3}+4r^{2}-6r-5.

Passo 5

Testo novamente r=1 no quociente (procurando multiplicidade de r=1):
1^{4}+6\cdot1^{3}+4\cdot1^{2}-6\cdot1-5 = 1+6+4-6-5 = 0.
Portanto r=1 é raiz dupla. Divido o quociente por (r-1) de novo, com divisão sintética nos coeficientes 1,6,4,-6,-5:
  • Trago 1.
  • Multiplico por 1: 1. Somo a 6 7.
  • Multiplico 7 por 1: 7. Somo a 4 11.
  • Multiplico 11 por 1: 11. Somo a -6 5.
  • Multiplico 5 por 1: 5. Somo a -5 0.
Quociente agora é o polinômio de grau 3 com coeficientes 1,7,11,5, isto é
r^{3}+7r^{2}+11r+5.

Passo 6

Procuro raízes racionais para o cúbico r^{3}+7r^{2}+11r+5. Testo r=-1:
(-1)^{3}+7(-1)^{2}+11(-1)+5 = -1+7-11+5 = 0.
Logo r=-1 é raiz. Faço divisão sintética do cúbico por (r+1) (uso r_0=-1) com coeficientes 1,7,11,5:
  • Trago 1.
  • Multiplico por -1: -1. Somo a 7 6.
  • Multiplico 6 por -1: -6. Somo a 11 5.
  • Multiplico 5 por -1: -5. Somo a 5 0.
Quociente é o polinômio quadrático r^{2}+6r+5.

Passo 7

Fatoro o quadrático r^{2}+6r+5. Ele é facilmente fatorável:
r^{2}+6r+5=(r+1)(r+5).
Portanto as raízes encontradas para o polinômio original são:
\; r=1 com multiplicidade 2, \; r=-1 com multiplicidade 2, e \; r=-5 com multiplicidade 1.

Passo 8

Regra (mini-aula) para construir a solução geral a partir das raízes do polinômio característico:
  • Se r_0 é raiz real simples (multiplicidade 1), a solução correspondente é e^{r_0 x}.
  • Se r_0 é raiz real de multiplicidade m, então as m soluções lineares independentes associadas são
e^{r_0 x},\; x e^{r_0 x},\; x^{2} e^{r_0 x},\; \dots,\; x^{m-1} e^{r_0 x}.
(Isto ocorre porque quando a raiz é repetida, as soluções adicionais aparecem multiplicadas por potências de x.)
  • Se houvesse raízes complexas conjugadas a\pm bi, transformaríamos as soluções e^{(a\pm bi)x} em funções reais e^{ax}\cos(bx) e e^{ax}\sin(bx), possivelmente multiplicadas por potências de x se a raiz fosse múltipla. (Aqui não precisamos desse caso porque todas as raízes são reais.)

Passo 9

Aplicando a regra ao nosso caso com raízes e multiplicidades já encontradas:
  • Para r=1 (multiplicidade 2): geram as soluções e^{x} e x e^{x}, isto é, termos (C_{1}+C_{2}x)e^{x}.
  • Para r=-1 (multiplicidade 2): geram as soluções e^{-x} e x e^{-x}, isto é, termos (C_{3}+C_{4}x)e^{-x}.
  • Para r=-5 (multiplicidade 1): gera e^{-5x} com coeficiente constante C_{5}.
Combinando linearmente (porque a equação é linear e homogênea), a solução geral é a soma dessas contribuições.

Resposta

y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}+(C_{3}+C_{4}x)e^{-x}+C_{5}e^{-5x}

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