Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais homogêneas de ordem superior
Passo 1
O enunciado pede para determinar a solução geral da equação (homogênea) de ordem 5 abaixo:
Informações dadas e que vamos usar:
- A equação é linear e homogênea com coeficientes constantes.
- A ordem é
(tem derivada de quinta ordem).
- Os coeficientes constantes são
associados às derivadas de ordens
respectivamente.
- O objetivo é obter a família de soluções (solução geral) com constantes arbitrárias.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (aula rápida e sem pular etapas): vamos procurar soluções da forma básica
, com
um número complexo a determinar. Por que essa forma? Porque derivadas de
são proporcionais a
(por exemplo
), então ao substituir numa equação linear com coeficientes constantes obtemos um fator comum
que pode ser dividido, sobrando uma equação polinomial em
. Esse polinômio chama-se polinômio característico. Se
é raiz do polinômio característico, então
é solução. Se houver raízes repetidas, cada multiplicidade gera soluções com fatores polinomiais em
(vou explicar isto com calma quando for necessário).
Passo 3
Formação do polinômio característico: supondo
, então
. Substituindo na equação dada e dividindo por
(que nunca é zero), obtemos o polinômio característico
Nosso trabalho agora é fatorar esse polinômio e encontrar suas raízes e multiplicidades.
Passo 4
Procura por raízes racionais simples (teste de raízes possíveis
pelo teorema das raízes racionais). Testo
:
Logo
é uma raiz. Então
é um fator do polinômio. Vamos dividir o polinômio por
. Faço a divisão sintetica passo a passo com coeficientes
:
- Trago
. - Multiplico por
: . Somo a → . - Multiplico
por : . Somo a → . - Multiplico
por : . Somo a → . - Multiplico
por : . Somo a → . - Multiplico
por : . Somo a → (resto zero, ok).
O quociente é o polinômio de grau 4 com coeficientes
, isto é
Passo 5
Testo novamente
no quociente (procurando multiplicidade de
):
Portanto
é raiz dupla. Divido o quociente por
de novo, com divisão sintética nos coeficientes
:
- Trago
. - Multiplico por
: . Somo a → . - Multiplico
por : . Somo a → . - Multiplico
por : . Somo a → . - Multiplico
por : . Somo a → .
Quociente agora é o polinômio de grau 3 com coeficientes
, isto é
Passo 6
Procuro raízes racionais para o cúbico
. Testo
:
Logo
é raiz. Faço divisão sintética do cúbico por
(uso
) com coeficientes
:
- Trago
. - Multiplico por
: . Somo a → . - Multiplico
por : . Somo a → . - Multiplico
por : . Somo a → .
Quociente é o polinômio quadrático
.
Passo 7
Fatoro o quadrático
. Ele é facilmente fatorável:
Portanto as raízes encontradas para o polinômio original são:
com multiplicidade
,
com multiplicidade
, e
com multiplicidade
.
Passo 8
Regra (mini-aula) para construir a solução geral a partir das raízes do polinômio característico:
- Se
é raiz real simples (multiplicidade ), a solução correspondente é . - Se
é raiz real de multiplicidade , então as soluções lineares independentes associadas são
(Isto ocorre porque quando a raiz é repetida, as soluções adicionais aparecem multiplicadas por potências de
.)
- Se houvesse raízes complexas conjugadas
, transformaríamos as soluções em funções reais e , possivelmente multiplicadas por potências de se a raiz fosse múltipla. (Aqui não precisamos desse caso porque todas as raízes são reais.)
Passo 9
Aplicando a regra ao nosso caso com raízes e multiplicidades já encontradas:
- Para
(multiplicidade ): geram as soluções e , isto é, termos . - Para
(multiplicidade ): geram as soluções e , isto é, termos . - Para
(multiplicidade ): gera com coeficiente constante .
Combinando linearmente (porque a equação é linear e homogênea), a solução geral é a soma dessas contribuições.