Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
onde
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
está multiplicando
, o termo do lado direito é um polinômio em
. Queremos a solução geral
(não há condição inicial).
Não há outras informações ou condições extras.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Não há outras informações ou condições extras.
Passo 2
Vamos primeiro escrever a derivada explicitamente e tentar separar as variáveis. Substituindo
obtemos
Usamos a propriedade dos exponenciais
e rearranjamos para separar
e
. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
temos
Agora as variáveis estão separadas: termos em
à esquerda e termos em
à direita. Próximo passo: integrar ambos os lados.
Passo 3
Integramos membro a membro:
Começo pela integral da esquerda. Faço a substituição
. Então
, ou
. Assim
(Quando integrarmos ambos os lados juntaremos as constantes numa só.)
Passo 4
Agora a integral da direita:
Vou calcular cada uma separadamente. Para a primeira, uso a substituição
. Então
e
. Assim
Passo 5
Para
uso de novo
, então
e
. Assim
Agora integramos por partes
. Escolhendo
e
então
e
. Logo
Portanto
Multiplicando por 2 (recorde o fator 2 que estava fora dessa integral),
Passo 6
Somando as duas partes da integral direita:
Agrupando termos em
:
Portanto a integral da direita é
.
Passo 7
Igualando as integrais (esquerda = direita) e juntando constantes:
Multiplicando por
e reagrupando a constante arbitrária em uma nova constante
(renomeio
) obtemos uma forma implícita simples:
Essa é a solução geral na forma implícita.
Passo 8
Se quiser escrever a solução explicitamente em termos de
, isole
e aplique logaritmo:
Aqui o argumento do logaritmo deve ser positivo:
. Esse é o domínio de validade da solução explícita.