Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
e^{t^{2}+y^{2}} y y^{\prime}=t+2 t^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
e^{t^{2}+y^{2}}\,y\,y' = t + 2t^{3},
onde y'=dy/dt.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\;e^{t^{2}+y^{2}} está multiplicando y\,y', o termo do lado direito é um polinômio em t. Queremos a solução geral y(t) (não há condição inicial).
Não há outras informações ou condições extras.

Passo 2

Vamos primeiro escrever a derivada explicitamente e tentar separar as variáveis. Substituindo y'=\dfrac{dy}{dt} obtemos
e^{t^{2}+y^{2}}\,y\,\frac{dy}{dt} = t + 2t^{3}.
Usamos a propriedade dos exponenciais e^{t^{2}+y^{2}}=e^{t^{2}}e^{y^{2}} e rearranjamos para separar y e t. Dividindo ambos os lados por e^{t^{2}} e multiplicando por dt temos
e^{y^{2}}\,y\,dy = (t+2t^{3})\,e^{-t^{2}}\,dt.
Agora as variáveis estão separadas: termos em y à esquerda e termos em t à direita. Próximo passo: integrar ambos os lados.

Passo 3

Integramos membro a membro:
\int e^{y^{2}}\,y\,dy = \int (t+2t^{3})\,e^{-t^{2}}\,dt.
Começo pela integral da esquerda. Faço a substituição u=y^{2}. Então du=2y\,dy, ou y\,dy=\dfrac{1}{2}\,du. Assim
\int e^{y^{2}}\,y\,dy = \int e^{u}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}e^{u} + C = \frac{1}{2}e^{y^{2}} + C.
(Quando integrarmos ambos os lados juntaremos as constantes numa só.)

Passo 4

Agora a integral da direita:
\int (t+2t^{3})\,e^{-t^{2}}\,dt = \int t\,e^{-t^{2}}\,dt \;+\; 2\int t^{3}\,e^{-t^{2}}\,dt.
Vou calcular cada uma separadamente. Para a primeira, uso a substituição v=-t^{2}. Então dv=-2t\,dt e t\,dt=-\tfrac{1}{2}dv. Assim
\int t\,e^{-t^{2}}\,dt = \int e^{v}\left(-\tfrac{1}{2}dv\right) = -\tfrac{1}{2}e^{v} = -\tfrac{1}{2}e^{-t^{2}}.

Passo 5

Para \int t^{3}e^{-t^{2}}dt uso de novo v=-t^{2}, então t^{2}=-v e t\,dt=-\tfrac{1}{2}dv. Assim
\int t^{3}e^{-t^{2}}dt = \int t^{2}\,(t\,dt)\,e^{-t^{2}} = \int (-v)\,e^{v}\left(-\tfrac{1}{2}dv\right) = \frac{1}{2}\int v\,e^{v}\,dv.
Agora integramos por partes \int v e^{v} dv. Escolhendo A=v e dB=e^{v}dv então dA=dv e B=e^{v}. Logo
\int v e^{v} dv = v e^{v} - \int e^{v} dv = v e^{v} - e^{v} = e^{v}(v-1).
Portanto
\int t^{3}e^{-t^{2}}dt = \frac{1}{2} e^{v}(v-1) = \frac{1}{2}e^{-t^{2}}(-t^{2}-1).
Multiplicando por 2 (recorde o fator 2 que estava fora dessa integral),
2\int t^{3}e^{-t^{2}}dt = e^{-t^{2}}(-t^{2}-1).

Passo 6

Somando as duas partes da integral direita:
\int (t+2t^{3})\,e^{-t^{2}}\,dt = -\tfrac{1}{2}e^{-t^{2}} + e^{-t^{2}}(-t^{2}-1).
Agrupando termos em e^{-t^{2}}:
-\tfrac{1}{2}e^{-t^{2}} + (-t^{2}-1)e^{-t^{2}} = -(t^{2}+\tfrac{3}{2})\,e^{-t^{2}}.
Portanto a integral da direita é -(t^{2}+\tfrac{3}{2})e^{-t^{2}} + C.

Passo 7

Igualando as integrais (esquerda = direita) e juntando constantes:
\frac{1}{2}e^{y^{2}} = -(t^{2}+\tfrac{3}{2})e^{-t^{2}} + C.
Multiplicando por 2 e reagrupando a constante arbitrária em uma nova constante C (renomeio 2C\to C) obtemos uma forma implícita simples:
e^{y^{2}} + (2t^{2}+3)\,e^{-t^{2}} = C.
Essa é a solução geral na forma implícita.

Passo 8

Se quiser escrever a solução explicitamente em termos de y, isole e^{y^{2}} e aplique logaritmo:
e^{y^{2}} = C - (2t^{2}+3)\,e^{-t^{2}},
y^{2} = \ln\!\bigl(C - (2t^{2}+3)\,e^{-t^{2}}\bigr),
y(t) = \pm\sqrt{\ln\!\bigl(C - (2t^{2}+3)\,e^{-t^{2}}\bigr)}.
Aqui o argumento do logaritmo deve ser positivo: C - (2t^{2}+3)e^{-t^{2}}>0. Esse é o domínio de validade da solução explícita.

Resposta

e^{y^{2}} + (2t^{2}+3)\,e^{-t^{2}} = C
y(t)=\pm\sqrt{\ln\!\bigl(C - (2t^{2}+3)\,e^{-t^{2}}\bigr)}

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