\times (Calcule a integral tripla \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{t-r^{2}}}^{\sqrt{t-r^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) d z d y d r. (use coordenadas cilindricas)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{t-r^{2}}}^{\sqrt{t-r^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\, dz\, dy\, dr.
Notei que há inconsistências de notação no enunciado (aparecem r, t e depois x,y nas integrais). Vou interpretar a integral da forma consistente e usual para esse tipo de problema, isto é:
\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\, dz\, dy\, dx,
que descreve a região abaixo do plano z=2 e acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, projetada sobre o disco de raio 2 no plano xy. O enunciado também pede explicitamente para usar coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Revisão didática: o que são coordenadas cilíndricas e como usamos aqui.
  • Em coordenadas cilíndricas representamos um ponto (x,y,z) por (r,\theta,z), com
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
  • O significado de cada variável: r é a distância do ponto à origem no plano xy (ou seja r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}), \theta é o ângulo polar no plano xy (medido a partir do eixo x), e z é a mesma coordenada vertical.
  • Importante: ao trocar de (x,y) para (r,\theta) o elemento de área dx\,dy passa a ser r\,dr\,d\theta. Esse fator r é o Jacobiano da transformação — ele aparece sempre que fazemos mudança de variáveis polares/cilíndricas.

Passo 3

Determinar os limites da integração na forma cilíndrica (explicando passo a passo).
  • A projeção no plano xy é o disco de raio 2, isto é \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}. Em coordenadas cilíndricas isso equivale a
0 \le r \le 2,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.
  • Para z, os limites dados são de baixo z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} até cima z=2. Em coordenadas cilíndricas \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r, então
r \le z \le 2.
  • Resumindo: \theta\in[0,2\pi], r\in[0,2], z\in[r,2].

Passo 4

Reescrever o integrando e o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
  • O integrando \left(x^{2}+y^{2}\right) em coordenadas cilíndricas vira r^{2} porque x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • O elemento de volume dz\,dy\,dx (ou dz\,dA) vira dz\,(r\,dr\,d\theta).
  • Portanto a integral transforma-se em
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r}^{2} r^{2}\cdot r \, dz\, dr\, d\theta
ou seja em notação limpa:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r}^{2} r^{3}\, dz\, dr\, d\theta.

Passo 5

Fazer a integração em z primeiro (porque o integrando não depende de z) — explicação e execução.
  • Como r^{3} é tratado como constante em relação a z, a integral em z é simplesmente multiplicar r^{3} pelo comprimento do intervalo em z, que é 2-r.
  • Calculando:
\int_{r}^{2} r^{3}\, dz = r^{3}\bigl[z\bigr]_{z=r}^{z=2} = r^{3}(2-r).
  • Assim a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{3}(2-r)\, dr\, d\theta.

Passo 6

Executar a integração em r com passos bem detalhados.
  • Primeiro expandimos o integrando:
r^{3}(2-r) = 2r^{3} - r^{4}.
  • Integrando termo a termo em r de 0 a 2:
\int_{0}^{2} (2r^{3} - r^{4})\, dr = 2\int_{0}^{2} r^{3}\, dr - \int_{0}^{2} r^{4}\, dr.
  • Calcule cada integral básica: \displaystyle \int r^{3}\, dr = \frac{r^{4}}{4} e \displaystyle \int r^{4}\, dr = \frac{r^{5}}{5}.
  • Avaliando nos limites 0 e 2:
2\cdot\frac{2^{4}}{4} - \frac{2^{5}}{5} = 2\cdot\frac{16}{4} - \frac{32}{5} = 2\cdot 4 - \frac{32}{5} = 8 - \frac{32}{5}.
  • Colocando em uma fração comum:
8 - \frac{32}{5} = \frac{40}{5} - \frac{32}{5} = \frac{8}{5}.
  • Portanto a integral em r \displaystyle \frac{8}{5}, e ficamos com
\int_{0}^{2\pi} \frac{8}{5}\, d\theta.

Passo 7

Executar a integração em \theta e concluir o valor numérico.
  • A integral em \theta é direta porque o integrando \frac{8}{5} é constante:
\int_{0}^{2\pi} \frac{8}{5}\, d\theta = \frac{8}{5}\bigl[\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{8}{5}\cdot 2\pi = \frac{16\pi}{5}.
  • Então o valor final da integral tripla é \displaystyle \frac{16\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{16\pi}{5}

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