(Calcule a integral tripla
. (use coordenadas cilindricas)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
Notei que há inconsistências de notação no enunciado (aparecem
,
e depois
nas integrais). Vou interpretar a integral da forma consistente e usual para esse tipo de problema, isto é:
que descreve a região abaixo do plano
e acima do cone
, projetada sobre o disco de raio
no plano
. O enunciado também pede explicitamente para usar coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Revisão didática: o que são coordenadas cilíndricas e como usamos aqui.
- Em coordenadas cilíndricas representamos um ponto
por , com
- O significado de cada variável:
é a distância do ponto à origem no plano (ou seja ), é o ângulo polar no plano (medido a partir do eixo ), e é a mesma coordenada vertical. - Importante: ao trocar de
para o elemento de área passa a ser . Esse fator é o Jacobiano da transformação — ele aparece sempre que fazemos mudança de variáveis polares/cilíndricas.
Passo 3
Determinar os limites da integração na forma cilíndrica (explicando passo a passo).
- A projeção no plano
é o disco de raio , isto é . Em coordenadas cilíndricas isso equivale a
- Para
, os limites dados são de baixo até cima . Em coordenadas cilíndricas , então
- Resumindo:
, , .
Passo 4
Reescrever o integrando e o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
- O integrando
em coordenadas cilíndricas vira porque . - O elemento de volume
(ou ) vira . - Portanto a integral transforma-se em
ou seja em notação limpa:
Passo 5
Fazer a integração em
primeiro (porque o integrando não depende de
) — explicação e execução.
- Como
é tratado como constante em relação a , a integral em é simplesmente multiplicar pelo comprimento do intervalo em , que é . - Calculando:
- Assim a integral reduz-se a
Passo 6
Executar a integração em
com passos bem detalhados.
- Primeiro expandimos o integrando:
- Integrando termo a termo em
de a :
- Calcule cada integral básica:
e . - Avaliando nos limites
e :
- Colocando em uma fração comum:
- Portanto a integral em
dá , e ficamos com
Passo 7
Executar a integração em
e concluir o valor numérico.
- A integral em
é direta porque o integrando é constante:
- Então o valor final da integral tripla é
.