Resolver as seguintes equações diferenciais.
(x-1)dy - ydx = 0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x-1)\,dy - y\,dx = 0
e pede para encontrar a solução y(x). Aqui y é a função incógnita de x. Não há outras condições iniciais fornecidas, então procuramos a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Vamos primeiro escrever a equação em forma de derivada para ver sua estrutura. Dividindo todos os termos por dx (assumindo que trabalhamos com diferenciais normais), obtemos
(x-1)\frac{dy}{dx}-y=0.
Isolando \dfrac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x-1}.
Isto significa que a taxa de variação de y em relação a x é proporcional a y com um fator que depende de x.

Passo 3

Identificamos que a equação é separável: é possível escrever o lado direito como produto de uma função de y por uma função de x. Reescrevendo
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x-1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x-1}\,dx.
Explicação didática: “separável” significa que todos os termos com y (incluindo dy) ficam num lado da igualdade e todos os termos com x (incluindo dx) ficam no outro. Observação sobre domínio: aqui, para dividir por y usamos y\neq0; a solução constante y\equiv0 será tratada depois. Também é preciso x\neq1 para dividir por x-1; soluções serão válidas em intervalos que não contenham x=1.

Passo 4

Integramos os dois lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{1}{x-1}\,dx.
As integrais básicas são \int \dfrac{1}{u}\,du=\ln|u|+C. Aplicando isso:
\ln|y| = \ln|x-1| + C,
onde C é a constante de integração. Observação didática: o valor absoluto aparece porque a primitiva de 1/u é \ln|u|; isso garante que a solução cubra y positivo ou negativo.

Passo 5

Exponentiando ambos os lados para eliminar logaritmos:
|y| = e^{\ln|x-1|+C} = e^{C}\,|x-1|.
Chamando A=e^{C}>0, obtemos |y|=A\,|x-1|. Podemos então introduzir uma constante real K que absorve o sinal (isto é, K\in\mathbb{R}, K=A ou K=-A), e escrever a forma mais simples da solução geral:
y = K(x-1),\qquad K\in\mathbb{R}.
Observe que a solução y\equiv0 corresponde a K=0, então já está incluída nessa família. Também notar que cada escolha de K define uma solução válida em qualquer intervalo que não contenha x=1; em intervalos separados por x=1 pode haver constantes diferentes.

Passo 6

(Método alternativo e verificação rápida) Outra forma elegante é notar que a forma diferencial dada é exatamente o numerador da diferencial de \dfrac{y}{x-1}. Calculemos a diferencial:
d\!\left(\frac{y}{x-1}\right)=\frac{(x-1)\,dy - y\,d(x-1)}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)\,dy - y\,dx}{(x-1)^2}.
Como a equação diz (x-1)\,dy - y\,dx=0, segue que d\!\left(\dfrac{y}{x-1}\right)=0, ou seja \dfrac{y}{x-1} é constante, daí y=K(x-1). Para checar, derivando y=K(x-1) obtemos dy=K\,dx e substituindo na equação original o resultado é zero, confirmando que é solução.

Resposta

y=K(x-1),\quad K\in\mathbb{R}

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