Resolver as seguintes equações diferenciais.
(x-1)dy - ydx = 0
(x-1)dy - ydx = 0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução
. Aqui
é a função incógnita de
. Não há outras condições iniciais fornecidas, então procuramos a solução geral (com constante arbitrária).
Passo 2
Vamos primeiro escrever a equação em forma de derivada para ver sua estrutura. Dividindo todos os termos por
(assumindo que trabalhamos com diferenciais normais), obtemos
Isolando
,
Isto significa que a taxa de variação de
em relação a
é proporcional a
com um fator que depende de
.
Passo 3
Identificamos que a equação é separável: é possível escrever o lado direito como produto de uma função de
por uma função de
. Reescrevendo
Explicação didática: “separável” significa que todos os termos com
(incluindo
) ficam num lado da igualdade e todos os termos com
(incluindo
) ficam no outro. Observação sobre domínio: aqui, para dividir por
usamos
; a solução constante
será tratada depois. Também é preciso
para dividir por
; soluções serão válidas em intervalos que não contenham
.
Passo 4
Integramos os dois lados:
As integrais básicas são
. Aplicando isso:
onde
é a constante de integração. Observação didática: o valor absoluto aparece porque a primitiva de
é
; isso garante que a solução cubra
positivo ou negativo.
Passo 5
Exponentiando ambos os lados para eliminar logaritmos:
Chamando
, obtemos
. Podemos então introduzir uma constante real
que absorve o sinal (isto é,
,
ou
), e escrever a forma mais simples da solução geral:
Observe que a solução
corresponde a
, então já está incluída nessa família. Também notar que cada escolha de
define uma solução válida em qualquer intervalo que não contenha
; em intervalos separados por
pode haver constantes diferentes.
Passo 6
(Método alternativo e verificação rápida) Outra forma elegante é notar que a forma diferencial dada é exatamente o numerador da diferencial de
. Calculemos a diferencial:
Como a equação diz
, segue que
, ou seja
é constante, daí
. Para checar, derivando
obtemos
e substituindo na equação original o resultado é zero, confirmando que é solução.