( 2 ) Considere um sistema dinâmico de segunda ordem, que pode ser modelado por uma EDO linear de
ordem do tipo:
onde
é uma variável do sistema. O sistema parte de um estado inicial dado por
e
.
Determine qual a condição necessária (ou condições) para o parâmetro
tal que o sistema apresente uma resposta
oscilatória. Obtenha a expressão para
correspondente (em termos de um
genérico que satisfaça a condição definida acima). A amplitude das oscilações aumenta, diminui ou se mantém constante ao longo do tempo?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar tudo com clareza:
- EDO:
- Condições iniciais:
e . - O que pede:
- A condição sobre
para que a resposta seja oscilatória. - A expressão de
correspondente (em termos de que satisfaça a condição). - Dizer se a amplitude das oscilações aumenta, diminui ou se mantém constante ao longo do tempo.
- A condição sobre
Passo 2
Vou resolver a EDO pelo método padrão para equações lineares com coeficientes constantes: formar a equação característica. Substituímos soluções da forma
e obtemos a equação polinomial em
.
A equação característica é
Para estudar se a solução é oscilatória, olhamos o discriminante desta quadrática. O discriminante é
- Se
então as raízes são complexas conjugadas e a solução é uma exponencial complexa que gera seno/cosseno real — ou seja, solução oscilatória. - Logo, a condição para oscilações é
(Observação rápida:
dá raiz dupla real — caso crítico não oscilatório;
dá duas raízes reais — não oscilatório.)
Passo 3
Agora supondo
, escrevo explicitamente as raízes da característica. Como
escrevo
. As raízes são
Defino a frequência angular (parte imaginária) como
Assim as raízes são
.
Para raízes complexas conjugadas, a solução geral real é
onde
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Aqui a fator
é o decaimento exponencial (envelope) e
fornecem a oscilação.
Passo 4
Uso as condições iniciais para achar
e
.
Primeiro, em
:
Portanto
.
Agora calculo
. Uso a regra do produto; escrevo passo a passo:
com
. Então
Calculo as derivadas individuais:
Portanto
Avalio em
e igualo a
:
Então
Agora substituo
para obter
em função de
:
Passo 5
Substituo
e
na solução geral. Para
,
Essa é a expressão de
solicitada, válida quando
.
Passo 6
Agora respondo sobre a amplitude das oscilações. A envoltória das oscilações é dada pelo fator exponencial multiplicativo
vezes uma constante (a combinação das constantes diante de
e
). Pode-se calcular explicitamente a amplitude máxima instantânea como
Como
decresce exponencialmente com
, a amplitude decai com o tempo. Portanto as oscilações são amortecidas: a amplitude diminui exponencialmente (não aumenta nem se mantém constante).
Resposta
A amplitude das oscilações diminui ao longo do tempo (decai como
; a envoltória é
).