( 2 ) Considere um sistema dinâmico de segunda ordem, que pode ser modelado por uma EDO linear de 2^{\mathrm{a}} ordem do tipo:
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\frac{d y}{d t}+\frac{\beta}{4} y=0
onde y(t) é uma variável do sistema. O sistema parte de um estado inicial dado por y(0)=1 e y^{\prime}(0)=0.
Determine qual a condição necessária (ou condições) para o parâmetro \beta tal que o sistema apresente uma resposta y(t) oscilatória. Obtenha a expressão para y(t) correspondente (em termos de um \beta genérico que satisfaça a condição definida acima). A amplitude das oscilações aumenta, diminui ou se mantém constante ao longo do tempo?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar tudo com clareza:
  • EDO: \frac{d^{2}y}{dt^{2}}+\frac{d y}{dt}+\frac{\beta}{4}\,y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=0.
  • O que pede:
    1. A condição sobre \beta para que a resposta y(t) seja oscilatória.
    2. A expressão de y(t) correspondente (em termos de \beta que satisfaça a condição).
    3. Dizer se a amplitude das oscilações aumenta, diminui ou se mantém constante ao longo do tempo.

Passo 2

Vou resolver a EDO pelo método padrão para equações lineares com coeficientes constantes: formar a equação característica. Substituímos soluções da forma y(t)=e^{r t} e obtemos a equação polinomial em r.
A equação característica é
r^{2}+r+\frac{\beta}{4}=0.
Para estudar se a solução é oscilatória, olhamos o discriminante desta quadrática. O discriminante é
\Delta = 1 - 4\cdot\frac{\beta}{4}=1-\beta.
  • Se \Delta<0 então as raízes são complexas conjugadas e a solução é uma exponencial complexa que gera seno/cosseno real — ou seja, solução oscilatória.
  • Logo, a condição para oscilações é
\Delta<0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1-\beta<0 \quad\Longleftrightarrow\quad \beta>1.
(Observação rápida: \beta=1 dá raiz dupla real — caso crítico não oscilatório; \beta<1 dá duas raízes reais — não oscilatório.)

Passo 3

Agora supondo \beta>1, escrevo explicitamente as raízes da característica. Como \Delta=1-\beta<0 escrevo \sqrt{\Delta}=i\sqrt{\beta-1}. As raízes são
r=\frac{-1\pm\sqrt{1-\beta}}{2}=\frac{-1}{2}\pm i\frac{\sqrt{\beta-1}}{2}.
Defino a frequência angular (parte imaginária) como
\omega=\frac{\sqrt{\beta-1}}{2}.
Assim as raízes são r=-\tfrac{1}{2}\pm i\omega.
Para raízes complexas conjugadas, a solução geral real é
y(t)=e^{-t/2}\bigl(C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\bigr),
onde C_{1},C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais. Aqui a fator e^{-t/2} é o decaimento exponencial (envelope) e \cos,\sin fornecem a oscilação.

Passo 4

Uso as condições iniciais para achar C_{1} e C_{2}.
Primeiro, em t=0:
y(0)=e^{0}\bigl(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\bigr)=C_{1}=1.
Portanto C_{1}=1.
Agora calculo y'(t). Uso a regra do produto; escrevo passo a passo:
y(t)=e^{-t/2}\bigl(\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\bigr),
com C_{1}=1. Então
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t/2}\bigr)\bigl(\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\bigr) + e^{-t/2}\frac{d}{dt}\bigl(\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\bigr).
Calculo as derivadas individuais:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t/2}\bigr)=-\tfrac{1}{2}e^{-t/2}, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\bigr)=-\omega\sin(\omega t)+C_{2}\omega\cos(\omega t).
Portanto
y'(t)=e^{-t/2}\Bigl(-\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\bigr) -\omega\sin(\omega t)+C_{2}\omega\cos(\omega t)\Bigr).
Avalio em t=0 e igualo a y'(0)=0:
y'(0)=e^{0}\Bigl(-\tfrac{1}{2}(\cos 0 + C_{2}\sin 0)-\omega\sin 0 + C_{2}\omega\cos 0\Bigr) = -\tfrac{1}{2}\cdot 1 + C_{2}\omega.
Então
-\tfrac{1}{2}+C_{2}\omega=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=\frac{1}{2\omega}.
Agora substituo \omega=\dfrac{\sqrt{\beta-1}}{2} para obter C_{2} em função de \beta:
C_{2}=\frac{1}{2\omega}=\frac{1}{2\cdot \dfrac{\sqrt{\beta-1}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{\beta-1}}.

Passo 5

Substituo C_{1} e C_{2} na solução geral. Para \beta>1,
y(t)=e^{-t/2}\left[\cos\!\left(\frac{\sqrt{\beta-1}}{2}t\right) +\frac{1}{\sqrt{\beta-1}}\sin\!\left(\frac{\sqrt{\beta-1}}{2}t\right)\right].
Essa é a expressão de y(t) solicitada, válida quando \beta>1.

Passo 6

Agora respondo sobre a amplitude das oscilações. A envoltória das oscilações é dada pelo fator exponencial multiplicativo e^{-t/2} vezes uma constante (a combinação das constantes diante de \cos e \sin). Pode-se calcular explicitamente a amplitude máxima instantânea como
A(t)=e^{-t/2}\sqrt{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}} =e^{-t/2}\sqrt{1+\frac{1}{\beta-1}} =e^{-t/2}\sqrt{\frac{\beta}{\beta-1}}.
Como e^{-t/2} decresce exponencialmente com t, a amplitude decai com o tempo. Portanto as oscilações são amortecidas: a amplitude diminui exponencialmente (não aumenta nem se mantém constante).

Resposta

\beta>1
y(t)=e^{-t/2}\left[\cos\!\left(\frac{\sqrt{\beta-1}}{2}t\right) +\frac{1}{\sqrt{\beta-1}}\sin\!\left(\frac{\sqrt{\beta-1}}{2}t\right)\right]
A amplitude das oscilações diminui ao longo do tempo (decai como e^{-t/2}; a envoltória é e^{-t/2}\sqrt{\dfrac{\beta}{\beta-1}}).

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