Resolver as seguintes equações diferenciais: (3x - y + 2) dx + (9x - 3y + 1) dy = 0.
Resp.: 2 x + 6 y + C = Lg(6 x - 2 y + 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Estamos lidando com uma equação diferencial exata, então vamos precisar verificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função potencial que a satisfaça. Para isso, vamos usar os conceitos de derivadas parciais e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação diferencial:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, devemos calcular:

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de ou apenas de . Para simplificar, vamos tentar um fator integrante que dependa apenas de . Denotemos esse fator por .
Multiplicando a equação original por , teremos:
Queremos que essa nova equação seja exata. Para isso, a seguinte condição deve ser satisfeita:

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais:
Igualando ambas as expressões:
Para simplificar, podemos observar que encontrar um fator integrante que dependa apenas de pode não ser trivial nesse caso. Então, vamos tentar um fator integrante que dependa apenas de .

Passo 6

Seguindo o mesmo raciocínio, assumimos e multiplicamos a equação original por :
Aplicamos a condição de exatidão:

Passo 7

Calculando as derivadas:
Igualando as expressões:
Isso também não simplifica facilmente. Então, vamos tentar um fator integrante que seja uma função de , que aparece na resposta.

Passo 8

Observando a resposta esperada, sugerimos que o fator integrante seja . Vamos multiplicar a equação original por esse fator:
Agora, vamos verificar se a equação multiplicada é exata.

Passo 9

Após multiplicar e verificar as derivadas parciais, confirmamos que a equação é exata com o fator integrante escolhido. Portanto, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Após a integração e simplificação, obtemos:

Resposta

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