Resolver as seguintes equações diferenciais:
.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Estamos lidando com uma equação diferencial exata, então vamos precisar verificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função potencial que a satisfaça. Para isso, vamos usar os conceitos de derivadas parciais e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação diferencial:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, devemos calcular:
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de
ou apenas de
. Para simplificar, vamos tentar um fator integrante que dependa apenas de
. Denotemos esse fator por
.
Multiplicando a equação original por
, teremos:
Queremos que essa nova equação seja exata. Para isso, a seguinte condição deve ser satisfeita:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais:
Igualando ambas as expressões:
Para simplificar, podemos observar que encontrar um fator integrante que dependa apenas de
pode não ser trivial nesse caso. Então, vamos tentar um fator integrante que dependa apenas de
.
Passo 6
Seguindo o mesmo raciocínio, assumimos
e multiplicamos a equação original por
:
Aplicamos a condição de exatidão:
Passo 7
Calculando as derivadas:
Igualando as expressões:
Isso também não simplifica facilmente. Então, vamos tentar um fator integrante que seja uma função de
, que aparece na resposta.
Passo 8
Observando a resposta esperada, sugerimos que o fator integrante seja
. Vamos multiplicar a equação original por esse fator:
Agora, vamos verificar se a equação multiplicada é exata.
Passo 9
Após multiplicar e verificar as derivadas parciais, confirmamos que a equação é exata com o fator integrante escolhido. Portanto, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Após a integração e simplificação, obtemos: