Calcule a integral dupla integral duplaD 6 x d A em que D é a região triangular com vértices A(9,9), B(9,-3) e C(8,0).

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaD 6x , dA, onde D é a região triangular com vértices em A(9,9), B(9,-3) e C(8,0). Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões planas. Precisamos entender os limites da região triangular D e configurar a integral de forma adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região D. Os vértices são A(9,9), B(9,-3) e C(8,0). Observando os pontos, vemos que os pontos A e B têm a mesma coordenada x=9, então a base do triângulo está vertical. O ponto C está em x=8, então precisamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo.

Passo 3

Vamos encontrar as equações das retas AC e BC.
Para a reta AC: passa por (9,9) e (8,0).
A inclinação mAC = 0 - 98 - 9 = -9-1 = 9.
Usando a forma y = mx + b, substituímos um ponto para encontrar b:
9 = 9 cdot 9 + b Rightarrow 9 = 81 + b Rightarrow b = -72.
Então, a equação da reta AC é y = 9x - 72.
Para a reta BC: passa por (9,-3) e (8,0).
A inclinação mBC = 0 - (-3)8 - 9 = 3-1 = -3.
Usando a forma y = mx + b, substituímos um ponto para encontrar b:
-3 = -3 cdot 9 + b Rightarrow -3 = -27 + b Rightarrow b = 24.
Então, a equação da reta BC é y = -3x + 24.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como a região D está entre x=8 e x=9, nosso intervalo para x será de 8 a 9.
Para cada x nesse intervalo, y varia entre as duas retas encontradas:
  • A reta superior é y = 9x - 72.
  • A reta inferior é y = -3x + 24.
Portanto, os limites para y serão de -3x + 24 até 9x - 72.

Passo 5

Agora, podemos configurar a integral dupla:
integral duplaD 6x , dA = integralx=8^9 integraly=-3x+24^9x-72 6x , dy , dx
Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a y.

Passo 6

Integrando 6x em relação a y:
integraly=-3x+24^9x-72 6x , dy = 6x cdot [ y ]-3x+24^9x-72 = 6x cdot ( (9x - 72) - (-3x + 24) )
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
(9x - 72) - (-3x + 24) = 9x - 72 + 3x - 24 = 12x - 96
Então, a integral interna resulta em:
6x cdot (12x - 96) = 72x^2 - 576x

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a x de 8 a 9:
integral8^9 (72x^2 - 576x) , dx
Calculamos cada termo separadamente:
integral 72x^2 , dx = 72 cdot x^33 = 24x^3
integral 576x , dx = 576 cdot x^22 = 288x^2
Então, a integral se torna:
24x^3 - 288x^2 |8^9

Passo 8

Vamos avaliar a expressão nos limites de integração:
Para x=9:
24(9)^3 - 288(9)^2 = 24 cdot 729 - 288 cdot 81 = 17496 - 23328 = -5832
Para x=8:
24(8)^3 - 288(8)^2 = 24 cdot 512 - 288 cdot 64 = 12288 - 18432 = -6144
Agora, subtraímos os valores:
-5832 - (-6144) = -5832 + 6144 = 312

Resposta

O valor da integral dupla é 312.

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