Calcule a integral dupla em que é a região triangular com vértices e .
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla , onde é a região triangular com vértices em , e . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões planas. Precisamos entender os limites da região triangular e configurar a integral de forma adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região . Os vértices são , e . Observando os pontos, vemos que os pontos e têm a mesma coordenada , então a base do triângulo está vertical. O ponto está em , então precisamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo.
Passo 3
Vamos encontrar as equações das retas e .
Para a reta : passa por e .
A inclinação .
Usando a forma , substituímos um ponto para encontrar :
.
Então, a equação da reta é .
Para a reta : passa por e .
A inclinação .
Usando a forma , substituímos um ponto para encontrar :
.
Então, a equação da reta é .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como a região está entre e , nosso intervalo para será de 8 a 9.
Para cada nesse intervalo, varia entre as duas retas encontradas:
A reta superior é .
A reta inferior é .
Portanto, os limites para serão de até .
Passo 5
Agora, podemos configurar a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a .
Passo 6
Integrando em relação a :
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 8 a 9:
Calculamos cada termo separadamente:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Vamos avaliar a expressão nos limites de integração: