Resolver as seguintes integrais:
int \frac{x^{2}+4 x+10}{(x+1) \cdot\left(x^{2}+2 x+8\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}+4x+10}{(x+1)\bigl(x^{2}+2x+8\bigr)}\,dx
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais, seguida de integração de funções racionais e arco-tangente.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais: suponha que
\frac{x^{2}+4x+10}{(x+1)(x^{2}+2x+8)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B\,x + C}{x^{2}+2x+8}.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^{2}+2x+8), obtemos
x^{2}+4x+10 = A\,(x^{2}+2x+8) + (B\,x+C)\,(x+1).

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A\,x^{2} + 2A\,x + 8A + B\,x^{2} + B\,x + C\,x + C = (A+B)\,x^{2} + (2A+B+C)\,x + (8A+C).
Comparando coeficientes com x^{2}+4x+10\), temos o sistema \[\begin{cases} A + B = 1,\\\\ 2A + B + C = 4,\\\\ 8A + C = 10. \end{cases}
Da terceira equação, C = 10 - 8A\]. Substituindo em \(2A + B + C = 4 2A + B + 10 - 8A = 4, ou seja B - 6A = -6, logo B = 6A - 6. Usando A + B = 1 resulta em A + 6A - 6 = 1, de onde 7A = 7 e A=1. Assim B = 0 e C = 2.

Passo 4

A integral fica
\int \frac{1}{x+1}\,dx \;+\; \int \frac{2}{x^{2}+2x+8}\,dx.
A primeira parte é imediata:
\int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln\bigl|x+1\bigr|.

Passo 5

Para a segunda parte, complete o quadrado:
x^{2}+2x+8 = (x+1)^{2} + 7.
Então
\int \frac{2}{(x+1)^{2}+7}\,dx = 2 \int \frac{1}{(x+1)^{2} + (\sqrt{7})^{2}}\,dx = \frac{2}{\sqrt{7}}\arctan\!\biggl(\frac{x+1}{\sqrt{7}}\biggr).

Resposta

\int \frac{x^{2}+4x+10}{(x+1)\bigl(x^{2}+2x+8\bigr)}\,dx = \ln\bigl|x+1\bigr| + \frac{2}{\sqrt{7}}\arctan\!\biggl(\frac{x+1}{\sqrt{7}}\biggr) + C.

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